Лаплацеова трансформација

Лаплацеова трансформација претвара функцију временског домена у функцију с-домена интеграцијом од нуле до бесконачности

 функције временског домена, помножено са е -ст .

Лапласова трансформација се користи за брзо проналажење решења за диференцијалне једначине и интеграле.

Извођење у временском домену трансформише се у множење с у с-домену.

Интеграција у временском домену трансформише се у дељење с у с-домену.

Лапласова функција трансформације

Лапласова трансформација је дефинисана оператором Л {}:

Ф (с) = \ матхцал {Л} \ лево \ {ф (т) \ десно \} = \ инт_ {0} ^ {\ инфти} е ^ {- ст} ф (т) дт

Инверзна Лапласова трансформација

Инверзна Лапласова трансформација може се израчунати директно.

Обично је инверзна трансформација дата из табеле трансформација.

Лапласова табела трансформације

Назив функције Функција временског домена Лапласова трансформација

ф ( т )

Ф ( с ) = Л { ф ( т )}

Стално 1 \ фрац {1} {с}
Линеарно т \ фрац {1} {с ^ 2}
Снага

т н

\ фрац {н!} {с ^ {н + 1}}

Снага

т а

Γ ( + 1) ⋅ ова - ( + 1)

Експонент

е ат

\ фрац {1} {са}

Сине

грешити на

\ фрац {а} {с ^ 2 + а ^ 2}

Цосине

цос ат

\ фрац {с} {с ^ 2 + а ^ 2}

Хиперболични синус

синх ат

\ фрац {а} {с ^ 2-а ^ 2}

Хиперболични косинус

цосх ат

\ фрац {с} {с ^ 2-а ^ 2}

Узгајање синуса

т грешити на

\ фрац {2ас} {(с ^ 2 + а ^ 2) ^ 2}

Расте косинус

т цос ат

\ фрац {с ^ 2-а ^ 2} {(с ^ 2 + а ^ 2) ^ 2}

Пропадајући синус

Е -На грех ωт

\ фрац {\ омега} {\ лево (с + а \ десно) ^ 2 + \ омега ^ 2}

Пропадајући косинус

Е -На јер ωт

\ фрац {с + а} {\ лево (с + а \ десно) ^ 2 + \ омега ^ 2}

Делта функција

δ ( т )

1

Одложена делта

δ ( та )

е -ас

Својства Лапласове трансформације

Назив својства Функција временског домена Лапласова трансформација Коментар
 

ф ( т )

Ф ( с )

 
Линеарност аф ( т ) + бг ( т ) аФ ( с ) + бГ ( с ) а , б су константне
Промена скале ф ( ат ) \ фрац {1} {а} Ф \ лево (\ фрац {с} {а} \ десно) а / 0
Смена е -ат ф ( т ) Ф ( с + а )  
Кашњење ф ( та ) е - као Ф ( с )  
Извођење \ фрац {дф (т)} {дт} сФ ( с ) - ф (0)  
Н-ти извод \ фрац {д ^ нф (т)} {дт ^ н} с н ф ( с ) - с н -1 ф (0) - с н -2 ф '(0) -...- ф ( н -1) (0)  
Снага т н ф ( т ) (-1) ^ н \ фрац {д ^ нФ (с)} {дс ^ н}  
Интеграција \ инт_ {0} ^ {т} ф (к) дк \ фрац {1} {с} Ф (с)  
Узајамно \ фрац {1} {т} ф (т) \ инт_ {с} ^ {\ инфти} Ф (к) дк  
Конволуција ф ( т ) * г ( т ) Ф ( с ) ⋅ Г ( с ) * је оператор савијања
Периодична функција ф ( т ) = ф ( т + Т ) \ фрац {1} {1-е ^ {- сТ}} \ инт_ {0} ^ {Т} е ^ {- ск} ф (к) дк  

Примери Лапласове трансформације

Пример # 1

Наћи трансформацију ф (т):

ф ( т ) = 3 т + 2 т 2

Решење:

ℒ { т } = 1 / с 2

ℒ { т 2 } = 2 / с 3

Ф ( с ) = ℒ { ф ( т )} = ℒ {3 т + 2 т 2 } = 3ℒ { т } + 2ℒ { т 2 } = 3 / с 2 + 4 / с 3

 

Пример # 2

Пронађите инверзну трансформацију Ф (с):

Ф ( с ) = 3 / ( с 2 + с - 6)

Решење:

Да бисмо пронашли инверзну трансформацију, морамо да променимо функцију с домена у једноставнији облик:

Ф ( с ) = 3 / ( с 2 + с - 6) = 3 / [( с -2) ( с +3)] = а / ( с -2) + б / ( с +3)

[ а ( с +3) + б ( с -2)] / [( с -2) ( с +3)] = 3 / [( с -2) ( с +3)]

а ( с +3) + б ( с -2) = 3

Да бисмо пронашли а и б, добили смо две једначине - једну од с коефицијената, а другу од осталих:

( а + б ) с + 3 а -2 б = 3

а + б = 0, 3 а -2 б = 3

а = 3/5, б = -3/5

Ф ( с ) = 3/5 ( с -2) - 3/5 ( с +3)

Сада се Ф (с) могу лако трансформисати помоћу табеле трансформација за функцију експонента:

ф ( т ) = (3/5) е 2 т - (3/5) е -3 т

 


Такође видети

КАЛКУЛ
БРЗЕ ТАБЛИЦЕ