Derivatregler

Derivatregler och lagar. Derivat av funktionstabellen.

Derivatdefinition

Derivat av en funktion är förhållandet mellan skillnaden i funktionsvärde f (x) vid punkterna x + Δx och x med Δx, när Δx är oändligt liten. Derivatet är funktionslutningen eller lutningen för tangentlinjen vid punkt x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ till 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Andra derivat

Det andra derivatet ges av:

Eller härled helt enkelt det första derivatet:

f '' (x) = (f '(x))'

N: t derivat

Det n: e derivatet beräknas genom att härleda f (x) n gånger.

Det n: e derivatet är lika med derivatet av (n-1) derivatet:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Exempel:

Hitta det fjärde derivatet av

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' [10 x 4 ] '' = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x

Derivat på diagram över funktion

Derivat av en funktion är den tangentiella linjens lutning.

Derivatregler

Derivat summan regel

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Derivatproduktregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivatkvotientregel \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Derivat kedjeregel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Derivat summan regel

När a och b är konstanter.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Exempel:

Hitta derivatet av:

3 x 2 + 4 x.

Enligt summaregeln:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Derivatproduktregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivatkvotientregel

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Derivat kedjeregel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Denna regel kan förstås bättre med Lagranges notation:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funktion linjär approximation

För små Δx kan vi få en approximation till f (x 0 + Δx), när vi vet f (x 0 ) och f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Derivat av funktionstabellen

Funktionsnamn Fungera Derivat

f ( x )

f '( x )
Konstant

konst

0

Linjär

x

1

Kraft

x a

yxa a- 1

Exponentiell

e x

e x

Exponentiell

a x

a x ln a

Naturlig logaritm

ln ( x )

Logaritm

log b ( x )

Sinus

sin x

cos x

Cosinus

cos x

-sin x

Tangent

solbränna x

Arcsine

bågsin x

Arccosine

arccos x

Arktangent

arctan x

Hyperbolisk sinus

sinh x

cosh x

Hyperbolisk cosinus

cosh x

sinh x

Hyperbolisk tangent

tanh x

Invers hyperbolisk sinus

sinh -1 x

Invers hyperbolisk cosinus

cosh -1 x

Invers hyperbolisk tangent

tanh -1 x

Derivata exempel

Exempel 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Exempel 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

När du använder kedjeregeln:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Andra derivat test

När det första derivatet av en funktion är noll vid punkten x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Då kan det andra derivatet vid punkt x 0 , f '' (x 0 ), ange typen av den punkten:

 

f '' ( x 0 )/ 0

lokalt minimum

f '' ( x 0 ) <0

lokal max

f '' ( x 0 ) = 0

obestämd

 


Se även

KALKULUS
SNABBBORD