லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம்

லாப்லேஸ் உருமாற்றம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் நேர டொமைன் செயல்பாட்டை எஸ்-டொமைன் செயல்பாடாக மாற்றுகிறது

 நேர டொமைன் செயல்பாட்டின், e -st ஆல் பெருக்கப்படுகிறது .

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான தீர்வுகளை விரைவாகக் கண்டுபிடிக்க லாப்லேஸ் உருமாற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நேர டொமைனில் உள்ள வழித்தோன்றல் கள் டொமைனில் s ஆல் பெருக்கமாக மாற்றப்படுகிறது.

நேர களத்தில் ஒருங்கிணைப்பு s- களத்தில் s ஆல் பிரிவாக மாற்றப்படுகிறது.

லேப்ளேஸ் உருமாறும் செயல்பாடு

லாப்லேஸ் மாற்றம் எல் }} ஆபரேட்டருடன் வரையறுக்கப்படுகிறது :

F (கள்) = \ mathcal {L} \ இடது \ {f (t) \ வலது \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

தலைகீழ் லேப்ளேஸ் உருமாற்றம்

தலைகீழ் லேப்ளேஸ் உருமாற்றத்தை நேரடியாக கணக்கிட முடியும்.

வழக்கமாக தலைகீழ் மாற்றம் உருமாற்ற அட்டவணையில் இருந்து வழங்கப்படுகிறது.

லேப்ளேஸ் உருமாறும் அட்டவணை

செயல்பாட்டு பெயர் நேர டொமைன் செயல்பாடு லேப்ளேஸ் உருமாற்றம்

f ( t )

F ( கள் ) = L { f ( t )}

நிலையான 1 \ frac {1} {s}
நேரியல் t \ frac {1} {s ^ 2}
சக்தி

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

சக்தி

t

( A +1) ⋅ s - ( a +1)

அடுக்கு

e இல்

\ frac {1} {sa}

சைன்

பாவம் மணிக்கு

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

கொசைன்

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

ஹைபர்போலிக் சைன்

at sinh

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

ஹைபர்போலிக் கொசைன்

at cosh

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

வளர்ந்து வரும் சைன்

டி பாவம் மணிக்கு

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

வளர்ந்து வரும் கொசைன்

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

அழுகும் சைன்

e -at பாவம் ωt

\ frac {\ ஒமேகா} {\ இடது (கள் + அ \ வலது) ^ 2 + \ ஒமேகா ^ 2}

அழுகும் கொசைன்

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ இடது (s + a \ வலது) ^ 2 + \ ஒமேகா ^ 2}

டெல்டா செயல்பாடு

δ ( டி )

1

தாமதமான டெல்டா

δ ( ta )

e -as

லாப்லேஸ் உருமாறும் பண்புகள்

சொத்தின் பெயர் நேர டொமைன் செயல்பாடு லேப்ளேஸ் உருமாற்றம் கருத்து
 

f ( t )

எஃப் ( கள் )

 
நேரியல் af ( t ) + bg ( t ) aF ( கள் ) + பி.ஜி ( கள் ) a , b நிலையானது
அளவு மாற்றம் f ( இல் ) \ frac {1} {a} F \ இடது (\ frac {s} {a} \ வலது) a / 0
ஷிப்ட் e -at f ( t ) எஃப் ( கள் + )  
தாமதம் f ( ta ) e - என F ( கள் )  
வழித்தோன்றல் \ frac {df (t)} {dt} sF ( கள் ) - f (0)  
N-th வழித்தோன்றல் \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( கள் ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
சக்தி t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (கள்)} {ds ^ n}  
ஒருங்கிணைப்பு \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (கள்)  
பரஸ்பர \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
இணக்கம் f ( t ) * g ( t ) F ( கள் ) ⋅ G ( கள் ) * என்பது மாற்றும் ஆபரேட்டர்
அவ்வப்போது செயல்பாடு f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

லாப்லேஸ் உருமாறும் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு # 1

F (t) இன் உருமாற்றத்தைக் கண்டறியவும்:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

தீர்வு:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( கள் ) = ℒ { f ( t )} = ℒ t 3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

எடுத்துக்காட்டு # 2

F (களின்) தலைகீழ் உருமாற்றத்தைக் கண்டறியவும்:

எஃப் ( கள் ) = 3 / ( கள் 2 + கள் - 6)

தீர்வு:

தலைகீழ் உருமாற்றத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நாம் டொமைன் செயல்பாட்டை எளிமையான வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும்:

F ( கள் ) = 3 / ( கள் 2 + கள் - 6) = 3 / [( கள் -2) ( கள் +3)] = / ( கள் -2) + பி / ( கள் +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( கள் +3) + பி ( கள் -2) = 3

A மற்றும் b ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் 2 சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் - கள் குணகங்களில் ஒன்று மற்றும் மீதமுள்ள இரண்டாவது:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

எஃப் ( கள் ) = 3/5 ( கள் -2) - 3/5 ( கள் +3)

அதிவேக செயல்பாட்டிற்கான உருமாற்ற அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இப்போது எஃப் (களை) எளிதாக மாற்ற முடியும்:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


மேலும் காண்க

கால்குலஸ்
விரைவான அட்டவணைகள்