Türev kuralları

Türev kurallar ve kanunlar. Fonksiyonların türevleri tablosu.

Türev tanımı

Bir fonksiyonun türevi, Δx sonsuz derecede küçük olduğunda, x + Δx ve x ile x noktalarındaki f (x) fonksiyon değerinin farkının oranıdır. Türev, x noktasındaki teğet doğrunun fonksiyon eğimi veya eğimidir.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ ila 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

İkinci türev

İkinci türev şu şekilde verilir:

Veya basitçe ilk türevi türetin:

f '' (x) = (f '(x))'

N. türev

N inci türevi f (x) n-kere türetmek hesaplanır.

N inci türevi (n-1) türevi türev için eşit:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Misal:

Dördüncü türevini bulun

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Fonksiyonun grafiğinde türev

Bir fonksiyonun türevi, teğet doğrunun eğimidir.

Türev kuralları

Türev toplam kuralı

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Türev ürün kuralı

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Türev bölüm kuralı \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Türev zincir kuralı

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Türev toplam kuralı

Ne zaman bir ve b sabitlerdir.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Misal:

Türevini bulun:

3 x 2 + 4 x.

Toplam kuralına göre:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Türev ürün kuralı

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Türev bölüm kuralı

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Türev zincir kuralı

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Bu kural, Lagrange gösterimi ile daha iyi anlaşılabilir:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Fonksiyon doğrusal yaklaşım

Küçük Δx için, f (x 0 ) ve f '(x 0 ) ' ı bildiğimizde, f (x 0 + Δx) 'e bir yaklaşım elde edebiliriz :

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Fonksiyonların türevleri tablosu

Fonksiyon adı Fonksiyon Türev

f ( x )

f '( x )
Sabit

sabit

0

Doğrusal

x

1

Güç

x a

balta a- 1

Üstel

e x

e x

Üstel

bir x

a x ln a

Doğal logaritma

ln ( x )

Logaritma

günlük b ( x )

Sinüs

günah x

çünkü x

Kosinüs

çünkü x

-sin x

Teğet

tan x

Arcsine

arcsin x

Arkkosin

arccos x

Arktanjant

arctan x

Hiperbolik sinüs

sinh x

cosh x

Hiperbolik kosinüs

cosh x

sinh x

Hiperbolik tanjant

tanh x

Ters hiperbolik sinüs

sinh -1 x

Ters hiperbolik kosinüs

cosh -1 x

Ters hiperbolik tanjant

tanh -1 x

Türev örnekler

Örnek 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Örnek 2

f ( x ) = günah (3 x 2 )

Zincir kuralını uygularken:

f ' ( x ) = marul (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = marul (3 x 2 ) ⋅ 6 x

İkinci türev testi

Bir fonksiyonun ilk türevi x 0 noktasında sıfır olduğunda .

f '( x 0 ) = 0

O zaman x 0 , f '' (x 0 ) noktasındaki ikinci türev, bu noktanın türünü gösterebilir:

 

f '' ( x 0 )/ 0

yerel minimum

f '' ( x 0 ) <0

yerel maksimum

f '' ( x 0 ) = 0

belirsiz

 


Ayrıca bakınız

HESAP
HIZLI TABLOLAR