Laplace Dönüşümü

Laplace dönüşümü, sıfırdan sonsuza entegrasyon yoluyla bir zaman etki alanı işlevini s etki alanı işlevine dönüştürür

e- ^{st ile} çarpılan zaman alanı işlevi .

Laplace dönüşümü, diferansiyel denklemler ve integraller için hızlı çözümler bulmak için kullanılır.

Zaman alanındaki türetme, s-alanındaki s ile çarpmaya dönüştürülür.

Zaman alanındaki entegrasyon, s-alanındaki s'ye bölünmeye dönüştürülür.

Laplace dönüşümü işlevi

Laplace dönüşümü, L {} operatörüyle tanımlanır :

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Ters Laplace dönüşümü doğrudan hesaplanabilir.

Genellikle ters dönüşüm, dönüşümler tablosundan verilir.

Fonksiyon adı	Zaman alanı işlevi	Laplace dönüşümü
Fonksiyon adı	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Sabit	1	$\ frac {1} {s}$
Doğrusal	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Güç	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Güç	t ^bir	Γ ( bir +1) ⋅ s ^{- ( bir +1)}
Üs	e ^at	$\ frac {1} {sa}$
Sinüs	sin de	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Kosinüs	çünkü en	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hiperbolik sinüs	SİNH de	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hiperbolik kosinüs	cosh at	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Büyüyen sinüs	t sin de	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Büyüyen kosinüs	t , çünkü en	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Çürüyen sinüs	E ^-en sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Bozulan kosinüs	e ^-at çünkü ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta işlevi	δ ( t )	1
Gecikmiş delta	δ ( ta )	e ^-olarak

Mülkiyet adı	Zaman alanı işlevi	Laplace dönüşümü	Yorum Yap
	f ( t )	F ( ler )
Doğrusallık	af ( t ) + bg ( t )	aF ( ler ) + bG ( ler )	a , b sabittir
Ölçek değişikliği	f ( içinde )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ sağ)$	a / 0
Vardiya	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Gecikme	f ( ta )	E ^{- olarak} F ( s )
Türetme	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( ler ) - f (0)
N. türetme	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Güç	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Entegrasyon	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Karşılıklı	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Evrişim	f ( t ) * g ( t )	F ( ler ) ⋅ G ( ler )	* evrişim operatörüdür
Periyodik fonksiyon	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$