Похідні правила

Похідні норми та закони. Таблиця похідних функцій.

Похідне визначення

Похідною функції є відношення різниці значення функції f (x) у точках x + Δx та x з Δx, коли Δx нескінченно малий. Похідною є функціональний нахил або нахил дотичної прямої в точці x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Друга похідна

Друга похідна задається:

Або просто вивести першу похідну:

f '' (x) = (f '(x))'

N-та похідна

П - й похідною розраховується шляхом отримання F (X) п раз.

У п - е похідна дорівнює похідною від (п-1) похідне:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Приклад:

Знайдіть четверту похідну від

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' = = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x

Похідна на графіку функції

Похідною функції є нахил дотичної лінії.

Похідні правила

Правило похідної суми

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Правило похідного продукту

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило похідного коефіцієнта \ ліворуч (\ frac {f (x)} {g (x)} \ праворуч) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( х)}
Правило похідного ланцюга

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Правило похідної суми

Коли a і b - константи.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Приклад:

Знайдіть похідну від:

3 х 2 + 4 х.

Відповідно до правила суми:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Правило похідного продукту

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило похідного коефіцієнта

\ ліворуч (\ frac {f (x)} {g (x)} \ праворуч) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( х)}

Правило похідного ланцюга

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Це правило можна краще зрозуміти, позначивши Лагранжа:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Функція лінійного наближення

Для малого Δx ми можемо отримати наближення до f (x 0 + Δx), коли ми знаємо f (x 0 ) та f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Таблиця похідних функцій

Назва функції Функція Похідна

f ( x )

f '( x )
Постійний

конст

0

Лінійний

х

1

Потужність

х а

сокира а- 1

Експоненціальна

e x

e x

Експоненціальна

a x

a x ln a

Натуральний логарифм

ln ( x )

Логарифм

log b ( x )

Синус

гріх х

cos x

Косинус

cos x

-гріх х

Дотична

загар х

Арксин

arcsin x

Арккозін

arccos x

Арктангенс

арктан х

Гіперболічний синус

sinh x

cosh x

Гіперболічний косинус

cosh x

sinh x

Гіперболічний тангенс

tanh x

Зворотний гіперболічний синус

sinh -1 x

Обернений гіперболічний косинус

cosh -1 x

Зворотний гіперболічний тангенс

танх -1 х

Похідні приклади

Приклад №1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Приклад №2

f ( x ) = гріх (3 x 2 )

Застосовуючи правило ланцюга:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Другий похідний тест

Коли перша похідна функції дорівнює нулю в точці x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Тоді друга похідна в точці x 0 , f '' (x 0 ), може вказувати на тип цієї точки:

 

f '' ( x 0 )/ 0

місцевий мінімум

f '' ( x 0 ) <0

локальний максимум

f '' ( x 0 ) = 0

невизначений

 


Дивіться також

КАЛКУЛ
ШВИДКІ СТОЛИ