Перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа перетворює функцію часової області в функцію s-домену шляхом інтеграції від нуля до нескінченності

функції часової області, помножений на e ^-st .

Перетворення Лапласа використовується для швидкого пошуку рішень для диференціальних рівнянь та інтегралів.

Виведення у часовій області перетворюється на множення на s у s-домені.

Інтеграція у часовій області перетворюється на ділення на s у s-домені.

Функція перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа визначається за допомогою оператора L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ зліва \ {f (t) \ вправо \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Обернене перетворення Лапласа можна обчислити безпосередньо.

Зазвичай зворотне перетворення дається з таблиці перетворень.

Назва функції	Функція часової області	Перетворення Лапласа
Назва функції	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Постійний	1	$\ frac {1} {s}$
Лінійний	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Потужність	т ^н	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Потужність	t ^a	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
Експонента	e ^at	$\ frac {1} {sa}$
Синус	гріх на	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Косинус	cos при	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Гіперболічний синус	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Гіперболічний косинус	кош на	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Вирощування синуса	т гріх на	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Зростаючий косинус	t cos при	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Занепадаючий синус	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ ліва (s + a \ права) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Занепадаючий косинус	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ лівий (s + a \ правий) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Дельта-функція	δ ( t )	1
Затримана дельта	δ ( та )	e ^-as

Назва власності	Функція часової області	Перетворення Лапласа	Прокоментуйте
	f ( t )	F ( s )
Лінійність	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b постійні
Зміна масштабу	f ( при )	$\ frac {1} {a} F \ ліворуч (\ frac {s} {a} \ праворуч)$	a / 0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Затримка	f ( ta )	e ^{- як} F ( s )
Виведення	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-й вивід	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Потужність	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Інтеграція	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} Ж (и)$
Взаємна	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Виток	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* - оператор згортки
Періодична функція	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$