拉普拉斯變換

拉普拉斯變換通過從零到無窮大的積分將時域函數轉換為s域函數

 時域函數的乘以e -st

拉普拉斯(Laplace)變換用於快速找到微分方程和積分的解。

時域中的導數在s域中轉換為乘以s。

時域中的積分轉換為s域中的s除。

拉普拉斯變換功能

拉普拉斯變換是使用L {}運算符定義的:

F(s)= \數學{L} \左\ {f(t)\右\} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f(t)dt

拉普拉斯逆變換

拉普拉斯逆變換可以直接計算。

通常,從變換錶中給出逆變換。

拉普拉斯變換錶

功能名稱 時域功能 拉普拉斯變換

ft

Fs)= L { ft)}

不變 1 \ frac {1} {s}
線性的 t \ frac {1} {s ^ 2}
功率

Ť ñ

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

功率

Ť

Γ(一個+1)⋅小號- (+1)

指數

Ë

\ frac {1} {sa}

正弦波

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

餘弦

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

雙曲正弦

SINH

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

雙曲餘弦

COSH

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

正弦波

Ť

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2)^ 2}

餘弦增長

t cos

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2)^ 2}

正弦衰減

Ë -atωT

\ frac {\ omega} {\ left(s + a \ right)^ 2 + \ omega ^ 2}

衰減餘弦

Ë -at COS ωT

\ frac {s + a} {\ left(s + a \ right)^ 2 + \ omega ^ 2}

三角函數

δ(

1

延遲三角洲

δ(ta

Ë -as

拉普拉斯變換屬性

物業名稱 時域功能 拉普拉斯變換 評論
 

ft

Fs

 
線性度 aft)+ bgt aFs)+ bGs ab是常數
規模變化 fat \ frac {1} {a} F \ left(\ frac {s} {a} \ right) / 0
轉移 e -at ft Fs + a  
延遲 fta ë -˚F小號  
推導 \ frac {df(t)} {dt} sFs-f(0)  
第N次推導 \ frac {d ^ nf(t)} {dt ^ n} s n fs-s n -1 f(0)-s n -2 f '(0)-...- f n -1)(0)  
功率 t n ft (-1)^ n \ frac {d ^ nF(s)} {ds ^ n}  
積分 \ int_ {0} ^ {t} f(x)dx \ frac {1} {s} F(s)  
倒數 \ frac {1} {t} f(t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F(x)dx  
卷積 ft)* gt ˚F小號)⋅ ģ小號 *是卷積運算符
週期性功能 ft)= ft + T \ frac {1} {1-e ^ {-sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-sx} f(x)dx  

拉普拉斯變換的例子

例子1

求f(t)的變換:

ft)= 3 t + 2 t 2

解:

ℒ{ t } = 1 / s 2

ℒ{ t 2 } = 2 / s 3

Fs)=ℒ{ ft)} =ℒ{3 t + 2 t 2 } =3ℒ{ t } +2ℒ{ t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

範例#2

找到F(s)的逆變換:

Fs)= 3 /(s 2 + s -6)

解:

為了找到逆變換,我們需要將s域函數更改為更簡單的形式:

Fs)= 3 /(s 2 + s -6)= 3 / [(s -2)(s +3)] = a /(s -2)+ b /(s +3)

[ as +3)+ bs -2)] / [(s -2)(s +3)] = 3 / [(s -2)(s +3)]

as +3)+ bs -2)= 3

為了找到a和b,我們得到2個方程-s係數之一,其餘的第二個:

a + bs + 3 a -2 b = 3

a + b = 0,3 a -2 b = 3

a = 3/5,b = -3/5

Fs)= 3/5(s -2)-3/5 (s +3)

現在,可以通過使用指數函數的轉換錶輕鬆轉換F(s):

ft)=(3/5)e 2 t-(3/5)e -3 t

 


也可以看看

結石
快速表格