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拉普拉斯變換

拉普拉斯變換功能
拉普拉斯變換錶
拉普拉斯變換屬性
拉普拉斯變換的例子

拉普拉斯變換通過從零到無窮大的積分將時域函數轉換為s域函數

時域函數的乘以e ^-st。

拉普拉斯（Laplace）變換用於快速找到微分方程和積分的解。

時域中的導數在s域中轉換為乘以s。

時域中的積分轉換為s域中的s除。

拉普拉斯變換功能

拉普拉斯變換是使用L {}運算符定義的：

$F（s）= \數學{L} \左\ {f（t）\右\} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f（t）dt$

拉普拉斯逆變換

拉普拉斯逆變換可以直接計算。

通常，從變換錶中給出逆變換。

拉普拉斯變換錶

功能名稱	時域功能	拉普拉斯變換
功能名稱	f（t）	F（s）= L { f（t）}
不變	1	$\ frac {1} {s}$
線性的	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
功率	Ť ^ñ	$\ frac {n！} {s ^ {n + 1}}$
功率	Ť^一	Γ（一個+1）⋅小號^{- （一+1）}
指數	Ë^在	$\ frac {1} {sa}$
正弦波	罪於	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
餘弦	cos at	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
雙曲正弦	SINH在	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
雙曲餘弦	COSH在	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
正弦波	Ť罪在	$\ frac {2as} {（s ^ 2 + a ^ 2）^ 2}$
餘弦增長	t cos在	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {（s ^ 2 + a ^ 2）^ 2}$
正弦衰減	Ë ^-at罪ωT	$\ frac {\ omega} {\ left（s + a \ right）^ 2 + \ omega ^ 2}$
衰減餘弦	Ë ^-at COS ωT	$\ frac {s + a} {\ left（s + a \ right）^ 2 + \ omega ^ 2}$
三角函數	δ（噸）	1
延遲三角洲	δ（ta）	Ë ^-as

拉普拉斯變換屬性

物業名稱	時域功能	拉普拉斯變換	評論
	f（t）	F（s）
線性度	af（t）+ bg（t）	aF（s）+ bG（s）	a，b是常數
規模變化	f（at）	$\ frac {1} {a} F \ left（\ frac {s} {a} \ right）$	一/ 0
轉移	e ^-at f（t）	F（s + a）
延遲	f（ta）	ë ^-如˚F（小號）
推導	$\ frac {df（t）} {dt}$	sF（s）-f（0）
第N次推導	$\ frac {d ^ nf（t）} {dt ^ n}$	s ⁿ f（s）-s ^{n -1}f（0）-s ^{n -2}f '（0）-...- f ^{（n -1）}（0）
功率	t ⁿ f（t）	$（-1）^ n \ frac {d ^ nF（s）} {ds ^ n}$
積分	$\ int_ {0} ^ {t} f（x）dx$	$\ frac {1} {s} F（s）$
倒數	$\ frac {1} {t} f（t）$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F（x）dx$
卷積	f（t）* g（t）	˚F（小號）⋅ ģ（小號）	*是卷積運算符
週期性功能	f（t）= f（t + T）	$\ frac {1} {1-e ^ {-sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-sx} f（x）dx$

拉普拉斯變換的例子

例子1

求f（t）的變換：

f（t）= 3 t + 2 t ²

解：

ℒ{ t } = 1 / s ²

ℒ{ t ² } = 2 / s ³

F（s）=ℒ{ f（t）} =ℒ{3 t + 2 t ² } =3ℒ{ t } +2ℒ{ t ² } = 3 / s ² + 4 / s ³

範例＃2

找到F（s）的逆變換：

F（s）= 3 /（s ² + s -6）

解：

為了找到逆變換，我們需要將s域函數更改為更簡單的形式：

F（s）= 3 /（s ² + s -6）= 3 / [（s -2）（s +3）] = a /（s -2）+ b /（s +3）

[ a（s +3）+ b（s -2）] / [（s -2）（s +3）] = 3 / [（s -2）（s +3）]

a（s +3）+ b（s -2）= 3

為了找到a和b，我們得到2個方程-s係數之一，其餘的第二個：

（a + b）s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0，3 a -2 b = 3

a = 3/5，b = -3/5

F（s）= 3/5（s -2）-3/5 （s +3）

現在，可以通過使用指數函數的轉換錶輕鬆轉換F（s）：

f（t）=（3/5）e ^{2 t-}（3/5）e ^{-3 t}

也可以看看

結石

快速表格