Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacija pretvara funkciju vremenske domene u funkciju s-domene integracijom od nule do beskonačnosti

 funkcije vremenske domene, pomnoženo s e -st .

Laplaceova transformacija koristi se za brzo pronalaženje rješenja za diferencijalne jednadžbe i integrale.

Izvođenje u vremenskoj domeni pretvara se u množenje s u s-domeni.

Integracija u vremenskoj domeni pretvara se u podjelu s u s-domeni.

Laplaceova funkcija transformacije

Laplaceova transformacija definirana je s operatorom L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ lijevo \ {f (t) \ desno \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inverzna Laplaceova transformacija

Inverzna Laplaceova transformacija može se izračunati izravno.

Obično se inverzna transformacija daje iz tablice transformacija.

Laplaceova tablica transformacije

Naziv funkcije Funkcija vremenske domene Laplaceova transformacija

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Konstantno 1 \ frac {1} {s}
Linearno t \ frac {1} {s ^ 2}
Vlast

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Vlast

t a

Γ ( + 1) ⋅ s - ( + 1)

Eksponent

e u

\ frac {1} {sa}

Sinus

grijeh na

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinus

jer na

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hiperbolički sinus

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hiperbolički kosinus

cosh na

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Uzgoj sinusa

t sin na

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Raste kosinus

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Propadajući sinus

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ lijevo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Propadajući kosinus

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ lijevo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta funkcija

δ ( t )

1

Odgođena delta

δ ( ta )

e -as

Svojstva Laplaceove transformacije

Naziv nekretnine Funkcija vremenske domene Laplaceova transformacija Komentar
 

f ( t )

F ( e )

 
Linearnost af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b su konstantne
Promjena ljestvice f ( u ) \ frac {1} {a} F \ lijevo (\ frac {s} {a} \ desno) a / 0
Shift e -at f ( t ) F ( s + a )  
Odgoditi f ( ta ) e - kao F ( s )  
Izvođenje \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-to izvođenje \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Vlast t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integracija \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} Ž (i)  
Recipročan \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvolucija f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * je operator konvolucije
Povremena funkcija f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Primjeri Laplaceove transformacije

Primjer # 1

Pronađite transformaciju f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Riješenje:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Primjer # 2

Pronađite inverznu transformaciju F (s):

Ž ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Riješenje:

Da bismo pronašli inverznu transformaciju, moramo promijeniti funkciju s domene u jednostavniji oblik:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Da bismo pronašli a i b, dobivamo 2 jednadžbe - jednu od s koeficijenata, a drugu od ostalih:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

Ž ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Sada se F (s) može lako transformirati pomoću tablice transformacija za funkciju eksponenta:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Vidi također

RAČUN
BRZE TABLICE