Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacija pretvara funkciju vremenske domene u funkciju s-domene integracijom od nule do beskonačnosti

funkcije vremenske domene, pomnoženo s e ^-st .

Laplaceova transformacija koristi se za brzo pronalaženje rješenja za diferencijalne jednadžbe i integrale.

Izvođenje u vremenskoj domeni pretvara se u množenje s u s-domeni.

Integracija u vremenskoj domeni pretvara se u podjelu s u s-domeni.

Laplaceova funkcija transformacije

Laplaceova transformacija definirana je s operatorom L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ lijevo \ {f (t) \ desno \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Inverzna Laplaceova transformacija može se izračunati izravno.

Obično se inverzna transformacija daje iz tablice transformacija.

Naziv funkcije	Funkcija vremenske domene	Laplaceova transformacija
Naziv funkcije	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Konstantno	1	$\ frac {1} {s}$
Linearno	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Vlast	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Vlast	t ^a	Γ ( + 1) ⋅ s ^{- (}^{+ 1)}
Eksponent	e ^u	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	grijeh na	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Kosinus	jer na	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Hiperbolički sinus	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Hiperbolički kosinus	cosh na	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Uzgoj sinusa	t sin na	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Raste kosinus	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Propadajući sinus	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ lijevo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Propadajući kosinus	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ lijevo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Delta funkcija	δ ( t )	1
Odgođena delta	δ ( ta )	e ^-as

Naziv nekretnine	Funkcija vremenske domene	Laplaceova transformacija	Komentar
	f ( t )	F ( e )
Linearnost	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b su konstantne
Promjena ljestvice	f ( u )	$\ frac {1} {a} F \ lijevo (\ frac {s} {a} \ desno)$	a / 0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Odgoditi	f ( ta )	e ^{- kao} F ( s )
Izvođenje	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-to izvođenje	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Vlast	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integracija	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} Ž (i)$
Recipročan	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Konvolucija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* je operator konvolucije
Povremena funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$