Całka

Całkowanie jest odwrotną operacją wyprowadzania.

Całka funkcji to obszar pod wykresem funkcji.

Nieokreślona definicja całkowa

Gdy dF (x) / dx = f (x) =/ całka (f (x) * dx) = F (x) + c

Nieokreślone własności całkowe

całka (f (x) + g (x)) * dx = całka (f (x) * dx) + całka (g (x) * dx)

całka (a * f (x) * dx) = a * całka (f (x) * dx)

całka (f (a * x) * dx) = 1 / a * F (a * x) + c

całka (f (x + b) * dx) = F (x + b) + c

całka (f (a * x + b) * dx) = 1 / a * F (a * x + b) + c

całka (df (x) / dx * dx) = f (x)

Zmiana zmiennej całkowania

Gdyx = g (t) idx = g '(t) * dt

całka (f (x) * dx) = całka (f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integracja według części

całka (f (x) * g '(x) * dx) = f (x) * g (x) - całka (f' (x) * g (x) * dx)

Tabela całek

całka (f (x) * dx = F (x) + c

całka (a * dx) = a * x + c

całka (x ^ n * dx) = 1 / (a ​​+ 1) * x ^ (a + 1) + c, gdy a </ - 1

całka (1 / x * dx) = ln (abs (x)) + c

całka (e ^ x * dx) = e ^ x + c

całka (a ^ x * dx) = a ^ x / ln (x) + c

całka (ln (x) * dx) = x * ln (x) - x + c

całka (sin (x) * dx) = -cos (x) + c

całka (cos (x) * dx) = sin (x) + c

całka (tan (x) * dx) = -ln (abs (cos (x))) + c

całka (arcsin (x) * dx) = x * arcsin (x) + sqrt (1-x ^ 2) + c

całka (arccos (x) * dx) = x * arccos (x) - sqrt (1-x ^ 2) + c

całka (arctan (x) * dx) = x * arctan (x) - 1/2 * ln (1 + x ^ 2) + c

całka (dx / (ax + b)) = 1 / a * ln (abs (a * x + b)) + c

całka (1 / sqrt (a ^ 2-x ^ 2) * dx) = arcsin (x / a) + c

całka (1 / sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2) * dx) = ln (abs (x + sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2)) + c

całka (x * sqrt (x ^ 2-a ^ 2) * dx) = 1 / (a ​​* arccos (x / a)) + c

całka (1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2) * dx) = 1 / a * arctan (x / a) + c

całka (1 / (a ​​^ 2-x ^ 2) * dx) = 1 / 2a * ln (abs (((a + x) / (ax))) + c

całka (sinh (x) * dx) = cosh (x) + c

całka (cosh (x) * dx) = sinh (x) + c

całka (tanh (x) * dx) = ln (cosh (x)) + c

 

Definicja całki określonej

całka (a..b, f (x) * dx) = lim (n-/ inf, sum (i = 1..n, f (z (i)) * dx (i))) 

Gdyx0 = a, xn = b

dx (k) = x (k) - x (k-1)

x (k-1) <= z (k) <= x (k)

Obliczanie całki oznaczonej

Gdy ,

 dF (x) / dx = f (x) i

całka (a..b, f (x) * dx) = F (b) - F (a) 

Pewne własności całkowe

całka (a..b, (f (x) + g (x)) * dx) = całka (a..b, f (x) * dx) + całka (a..b, g (x) * dx )

całka (a..b, c * f (x) * dx) = c * całka (a..b, f (x) * dx)

całka (a..b, f (x) * dx) = - całka (b..a, f (x) * dx)

całka (a..b, f (x) * dx) = całka (a..c, f (x) * dx) + całka (c..b, f (x) * dx)

abs (całka (a..b, f (x) * dx)) <= całka (a..b, abs (f (x)) * dx)

min (f (x)) * (ba) <= całka (a..b, f (x) * dx) <= max (f (x)) * (ba) gdyx członek [a, b]

Zmiana zmiennej całkowania

Gdyx = g (t) ,dx = g '(t) * dt ,g (alpha) = a ,g (beta) = b

całka (a..b, f (x) * dx) = całka (alfa..beta, f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integracja według części

całka (a..b, f (x) * g '(x) * dx) = całka (a..b, f (x) * g (x) * dx) - całka (a..b, f' (x) * g (x) * dx)

Twierdzenie o wartości średniej

Kiedy f ( x ) jest ciągłe, jest punktc jest członkiem [a, b] więc

całka (a..b, f (x) * dx) = f (c) * (ba)  

Aproksymacja trapezowa całki oznaczonej

całka (a..b, f (x) * dx) ~ (ba) / n * (f (x (0)) / 2 + f (x (1)) + f (x (2)) + .. . + f (x (n-1)) + f (x (n)) / 2)

Funkcja gamma

gamma (x) = całka (0..inf, t ^ (x-1) * e ^ (- t) * dt

Funkcja Gamma jest zbieżna dla x/ 0 .

Właściwości funkcji gamma

G ( x +1) = x G ( x )

G ( n +1) = n ! , kiedy n ℕ (dodatnia liczba całkowita).jest członkiem

Funkcja Beta

B (x, y) = całka (0..1, t ^ (n-1) * (1-t) ^ (y-1) * dt

Funkcja beta i zależność funkcji gamma

B (x, y) = Gamma (x) * Gamma (y) / Gamma (x + y)

 

 

 

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
SZYBKIE STOŁY