Integrálne

Integrácia je obrátená operácia derivácie.

Integrál funkcie je oblasť pod grafom funkcie.

Neurčitá integrálna definícia

Kedy dF (x) / dx = f (x) =/ integrál (f (x) * dx) = F (x) + c

Neurčité integrálne vlastnosti

integrál (f (x) + g (x)) * dx = integrál (f (x) * dx) + integrál (g (x) * dx)

integrál (a * f (x) * dx) = a * integrál (f (x) * dx)

integrál (f (a * x) * dx) = 1 / a * F (a * x) + c

integrál (f (x + b) * dx) = F (x + b) + c

integrál (f (a * x + b) * dx) = 1 / a * F (a * x + b) + c

integrál (df (x) / dx * dx) = f (x)

Zmena premennej integrácie

Kedy x = g (t)  a dx = g '(t) * dt

integrál (f (x) * dx) = integrál (f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integrácia po častiach

integrál (f (x) * g '(x) * dx) = f (x) * g (x) - integrál (f' (x) * g (x) * dx)

Tabuľka integrálov

integrál (f (x) * dx = F (x) + c

integrál (a * dx) = a * x + c

integrál (x ^ n * dx) = 1 / (a ​​+ 1) * x ^ (a + 1) + c, keď a </ - 1

integrál (1 / x * dx) = ln (abs (x)) + c

integrál (e ^ x * dx) = e ^ x + c

integrál (a ^ x * dx) = a ^ x / ln (x) + c

integrál (ln (x) * dx) = x * ln (x) - x + c

integrál (sin (x) * dx) = -cos (x) + c

integrál (cos (x) * dx) = sin (x) + c

integrál (tan (x) * dx) = -ln (abs (cos (x))) + c

integrál (arcsin (x) * dx) = x * arcsin (x) + sqrt (1-x ^ 2) + c

integrál (arccos (x) * dx) = x * arccos (x) - sqrt (1-x ^ 2) + c

integrál (arctan (x) * dx) = x * arctan (x) - 1/2 * ln (1 + x ^ 2) + c

integrál (dx / (ax + b)) = 1 / a * ln (abs (a * x + b)) + c

integrál (1 / sqrt (a ^ 2-x ^ 2) * dx) = arcsin (x / a) + c

integrál (1 / sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2) * dx) = ln (abs (x + sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2)) + c

integrál (x * sqrt (x ^ 2-a ^ 2) * dx) = 1 / (a ​​* arccos (x / a)) + c

integrál (1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2) * dx) = 1 / a * arktán (x / a) + c

integrál (1 / (a ​​^ 2-x ^ 2) * dx) = 1 / 2a * ln (abs ((((a + x) / (ax))) + c

integrál (sinh (x) * dx) = cosh (x) + c

integrál (cosh (x) * dx) = sinh (x) + c

integrál (tanh (x) * dx) = ln (cosh (x)) + c

 

Definitívna integrálna definícia

integrál (a..b, f (x) * dx) = lim (n-/ inf, suma (i = 1..n, f (z (i)) * dx (i)))  

Kedy x0 = a, xn = b

dx (k) = x (k) - x (k-1)

x (k-1) <= z (k) <= x (k)

Definitívny integrálny výpočet

Kedy  ,

  dF (x) / dx = f (x)  a

integrál (a..b, f (x) * dx) = F (b) - F (a)  

Jednoznačné integrálne vlastnosti

integrál (a..b, (f (x) + g (x)) * dx) = integrál (a..b, f (x) * dx) + integrál (a..b, g (x) * dx )

integrál (a..b, c * f (x) * dx) = c * integrál (a..b, f (x) * dx)

integrál (a..b, f (x) * dx) = - integrál (b..a, f (x) * dx)

integrál (a..b, f (x) * dx) = integrál (a..c, f (x) * dx) + integrál (c..b, f (x) * dx)

abs (integrál (a..b, f (x) * dx)) <= integrál (a..b, abs (f (x)) * dx)

min (f (x)) * (ba) <= integrál (a..b, f (x) * dx) <= max (f (x)) * (ba)  kedy x člen [a, b]

Zmena premennej integrácie

Kedy x = g (t)  , dx = g '(t) * dt  , g (alfa) = a  , g (beta) = b

integrál (a..b, f (x) * dx) = integrál (alfa..beta, f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integrácia po častiach

integrál (a..b, f (x) * g '(x) * dx) = integrál (a..b, f (x) * g (x) * dx) - integrál (a..b, f' (x) * g (x) * dx)

Veta o strednej hodnote

Keď f ( x ) je spojité, existuje bod c je členom [a, b]  tak

integrál (a..b, f (x) * dx) = f (c) * (ba)   

Trapézová aproximácia definitívneho integrálu

integrál (a..b, f (x) * dx) ~ (ba) / n * (f (x (0)) / 2 + f (x (1)) + f (x (2)) + .. . + f (x (n-1)) + f (x (n)) / 2)

Funkcia gama

gama (x) = integrál (0..inf, t ^ (x-1) * e ^ (- t) * dt

Funkcia gama je konvergentná pre x/ 0 .

Vlastnosti funkcie gama

G ( x +1) = x G ( x )

G ( n +1) = n ! , keď n ℕ (kladné celé číslo). je členom

Funkcia Beta

B (x, y) = integrál (0..1, t ^ (n-1) * (1-t) ^ (y-1) * dt

Vzťah funkcií beta a gama

B (x, y) = gama (x) * gama (y) / gama (x + y)

 

 

 

CALCULUS
RÝCHLE TABUĽKY