لتغيير القاعدة من b إلى c ، يمكننا استخدام التغير اللوغاريتمي للقاعدة الأساسية. اللوغاريتم الأساسي b لـ x يساوي اللوغاريتم الأساسي c لـ x مقسومًا على اللوغاريتم الأساسي c لـ b:
سجل ب ( س ) = سجل ج ( س ) / سجل ج ( ب )
تسجيل 2 (100) = تسجيل 10 (100) / تسجيل 10 (2) = 2 / 0.30103 = 6.64386
السجل 3 (50) = السجل 8 (50) / السجل 8 (3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766
رفع b بقوة الأساس b لوغاريتم x يعطي x:
(1) x = b log b ( x )
رفع c بقوة لوغاريتم القاعدة c يعطي b:
(2) ب = ج سجل ج ( ب )
عندما نأخذ (1) ونستبدل b بـ c log c ( b ) (2) ، نحصل على:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
من خلال تطبيق السجل ج () على جانبي (3):
السجل ج ( س ) = السجل ج ( ج السجل ج ( ب ) × السجل ب ( س ) )
بتطبيق قاعدة قوة اللوغاريتم :
سجل ج ( س ) = [سجل ج ( ب ) × سجل ب ( س )] × سجل ج ( ج )
منذ تسجيل ج ( ج ) = 1
تسجيل ج ( س ) = سجل ج ( ب ) × سجل ب ( س )
أو
سجل ب ( س ) = سجل ج ( س ) / سجل ج ( ب )