قواعد اللوغاريتم

على قاعدة ب وغاريتم عدد هو الأس أننا في حاجة إلى رفع قاعدة من أجل الحصول على الرقم.

تعريف اللوغاريتم

عندما ترفع b إلى أس y يساوي x:

ب ص = س

إذن ، لوغاريتم القاعدة ب في المتغير x يساوي ص:

سجل ب ( س ) = ص

على سبيل المثال عندما:

2 4 = 16

ثم

سجل 2 (16) = 4

اللوغاريتم كدالة عكسية للدالة الأسية

الوظيفة اللوغاريتمية ،

ص = سجل ب ( س )

هي الوظيفة العكسية للدالة الأسية ،

س = ب ص

لذلك إذا قمنا بحساب الدالة الأسية للوغاريتم x (x/ 0) ،

و ( و -1 ( س )) = ب السجل ب ( س ) = س

أو إذا قمنا بحساب لوغاريتم الدالة الأسية لـ x ،

و -1 ( و ( س )) = السجل ب ( ب س ) = س

اللوغاريتم الطبيعي (ln)

اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للقاعدة e:

ln ( x ) = log e ( x )

عندما يكون ثابت e هو الرقم:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

أو

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

انظر: اللوغاريتم الطبيعي

حساب اللوغاريتم العكسي

يتم حساب اللوغاريتم العكسي (أو اللوغاريتم المضاد) عن طريق رفع القاعدة b إلى اللوغاريتم y:

س = تسجيل -1 ( ص ) = ب ص

دالة لوغاريتمية

الوظيفة اللوغاريتمية لها الشكل الأساسي:

و ( س ) = السجل ب ( خ )

قواعد اللوغاريتم

اسم القاعدة قاعدة
قاعدة منتج اللوغاريتم
 السجل ب ( س ∙ ص ) = السجل ب ( س ) + السجل ب ( ص )
قاعدة حاصل قسمة اللوغاريتم
 السجل ب ( س / ص ) = السجل ب ( س ) - السجل ب ( ص )
حكم قوة اللوغاريتم
 سجل ب ( س ص ) = ص ∙ سجل ب ( س )
قاعدة تبديل اللوغاريتم الأساسي
 تسجيل ب ( ج ) = 1 / سجل ج ( ب )
قاعدة تغيير قاعدة اللوغاريتم
 سجل ب ( س ) = سجل ج ( س ) / سجل ج ( ب )
مشتق من اللوغاريتم
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
تكامل اللوغاريتم
 ∫ السجل b ( x ) dx = x ∙ (السجل ب ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
لوغاريتم الرقم السالب
 سجل ب ( س ) غير معرف عندما س ≤ 0
لوغاريتم 0
 سجل ب (0) غير محدد
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
لوغاريتم 1
 سجل ب (1) = 0
لوغاريتم القاعدة
 سجل ب ( ب ) = 1
لوغاريتم ما لا نهاية
 lim log b ( x ) = ، عندما x → ∞

انظر: قواعد اللوغاريتم

 

قاعدة منتج اللوغاريتم

لوغاريتم ضرب x و y هو مجموع لوغاريتم x ولوغاريتم y.

السجل ب ( س ∙ ص ) = السجل ب ( س ) + السجل ب ( ص )

فمثلا:

تسجيل 10 (3 ∙ 7) = تسجيل 10 (3) + تسجيل 10 (7)

قاعدة حاصل قسمة اللوغاريتم

لوغاريتم قسمة x و y هو الفرق في لوغاريتم x ولوغاريتم y.

السجل ب ( س / ص ) = السجل ب ( س ) - السجل ب ( ص )

فمثلا:

تسجيل 10 (3 / 7) = تسجيل 10 (3) - تسجيل 10 (7)

حكم قوة اللوغاريتم

لوغاريتم x مرفوع للقوة y يساوي y ضرب لوغاريتم x.

سجل ب ( س ص ) = ص ∙ سجل ب ( س )

فمثلا:

سجل 10 (2 8 ) = 8 ∙ سجل 10 (2)

قاعدة تبديل اللوغاريتم الأساسي

لوغاريتم الأساس b لـ c يساوي 1 مقسومًا على لوغاريتم b للأساس c.

تسجيل ب ( ج ) = 1 / سجل ج ( ب )

فمثلا:

تسجيل 2 (8) = 1 / تسجيل 8 (2)

قاعدة تغيير قاعدة اللوغاريتم

لوغاريتم x للأساس b هو لوغاريتم x للقاعدة c مقسومًا على لوغاريتم b للقاعدة c.

سجل ب ( س ) = سجل ج ( س ) / سجل ج ( ب )

على سبيل المثال ، لحساب السجل 2 (8) في الآلة الحاسبة ، نحتاج إلى تغيير الأساس إلى 10:

تسجيل 2 (8) = تسجيل 10 (8) / تسجيل 10 (2)

انظر: سجل قاعدة التغيير الأساسي

لوغاريتم الرقم السالب

اللوغاريتم الحقيقي للقاعدة b لـ x عندما تكون x <= 0 غير معرف عندما تكون x سالبة أو تساوي صفرًا:

سجل ب ( س ) غير معرف عندما س ≤ 0

انظر: سجل الرقم السالب

لوغاريتم 0

اللوغاريتم الأساسي ب للصفر غير معرف:

سجل ب (0) غير محدد

نهاية لوغاريتم x للقاعدة b ، عندما يقترب x من الصفر ، هو سالب ما لا نهاية:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

انظر: سجل الصفر

لوغاريتم 1

لوغاريتم الأساس ب للعدد واحد هو صفر:

سجل ب (1) = 0

على سبيل المثال ، لوغاريتم الأساس الثاني للواحد هو صفر:

سجل 2 (1) = 0

انظر: سجل واحد

لوغاريتم ما لا نهاية

نهاية لوغاريتم x للقاعدة b ، عندما يقترب x من ما لا نهاية ، يساوي اللانهاية:

lim log b ( x ) = ، عندما x → ∞

انظر: سجل اللانهاية

لوغاريتم القاعدة

لوغاريتم الأساس ب لـ b هو واحد:

سجل ب ( ب ) = 1

على سبيل المثال ، لوغاريتم الأساس اثنين لاثنين هو واحد:

سجل 2 (2) = 1

مشتق اللوغاريتم

متى

و ( س ) = السجل ب ( خ )

ثم مشتق f (x):

و ' ( س ) = 1 / ( س ln ( ب ))

انظر: مشتق السجل

تكامل اللوغاريتم

تكامل لوغاريتم x:

∫ السجل b ( x ) dx = x ∙ (السجل ب ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

فمثلا:

∫ السجل 2 ( x ) dx = x ∙ (السجل 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

تقريب اللوغاريتم

تسجيل 2 ( س ) ≈ ن + ( س / 2 ن - 1) ،

لوغاريتم معقد

للعدد المركب z:

z = re iθ = x + iy

سيكون اللوغاريتم المعقد (n = ...- 2، -1،0،1،2، ...):

السجل z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

مشاكل اللوغاريتم وإجاباتها

المشكلة رقم 1

ابحث عن x عن

سجل 2 ( س ) + سجل 2 ( س -3) = 2

المحلول:

باستخدام قاعدة المنتج:

سجل 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

تغيير صيغة اللوغاريتم حسب تعريف اللوغاريتم:

س ∙ ( س -3) = 2 2

أو

س 2 -3 س -4 = 0

حل المعادلة التربيعية:

× 1،2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4 ، -1

نظرًا لأن اللوغاريتم غير محدد للأرقام السالبة ، فإن الإجابة هي:

س = 4

المشكلة رقم 2

ابحث عن x عن

سجل 3 ( س +2) - سجل 3 ( س ) = 2

المحلول:

باستخدام قاعدة خارج القسمة:

سجل 3 (( س +2) / س ) = 2

تغيير صيغة اللوغاريتم حسب تعريف اللوغاريتم:

( س +2) / س = 3 2

أو

س +2 = 9 س

أو

8 س = 2

أو

س = 0.25

رسم بياني للسجل (x)

لم يتم تعريف log (x) للقيم الحقيقية غير الموجبة لـ x:

جدول اللوغاريتمات

x سجل 10 x سجل 2 x تسجيل البريد العاشر
0 غير معرف غير معرف غير معرف
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

آلة حاسبة لوغاريتم ►

 

أنظر أيضا

الجبر
جداول سريعة