Nullarv (0)
Nullarvude määratlus
Null on matemaatikas kasutatav arv suuruse või nullkoguse kirjeldamiseks.
Kui laual on 2 õuna ja võtame 2 õuna, võime öelda, et laual on null õuna.
Nullarv ei ole positiivne ega negatiivne arv.
Null on ka kohanumbrikoht muudes numbrites (nt: 40 103, 170).
Kas null on arv?
Null on arv. See ei ole positiivne ega negatiivne arv.
Nullarv
Numbrikohta kasutatakse kohanumbrina numbrite kirjutamisel.
Näiteks:
204 = 2 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1
Nullarvude ajalugu
Kes leiutas nullarvu?
Kaasaegne sümbol 0 leiutati Indias 6. sajandil, seda kasutasid hiljem pärslased ja araablased ning hiljem Euroopas.
Nulli sümbol
Nullarv tähistatakse sümboliga 0 .
Araabia numbrisüsteem kasutab sümbolit ٠.
Nullarvuomadused
x tähistab suvalist arvu.
| Operatsioon | Reegel | Näide |
|---|---|---|
Lisamine |
x + 0 = x |
3 + 0 = 3 |
Lahutamine |
x - 0 = x |
3 - 0 = 3 |
Korrutamine |
x × 0 = 0 |
5 × 0 = 0 |
Jaotus |
0 ÷ x = 0 , kui x ≠ 0 |
0 ÷ 5 = 0 |
|
x ÷ 0 pole määratletud |
5 ÷ 0 on määratlemata |
|
Eksponentimine |
0 x = 0 |
0 5 = 0 |
|
x 0 = 1 |
5 0 = 1 |
|
Juur |
√ 0 = 0 |
|
Logaritm |
log b (0) pole määratletud |
|
 |
||
Factorial |
0! = 1 |
|
Siinus |
sin 0º = 0 |
|
Kosinus |
cos 0º = 1 |
|
Tangent |
tan 0º = 0 |
|
Tuletis |
0 '= 0 |
|
Integraalne |
∫ 0 d x = 0 + C |
|
 |
Null lisamine
Numbri pluss null lisamine on võrdne arvuga:
x + 0 = x
Näiteks:
5 + 0 = 5
Null lahutamine
Arvu lahutamine miinus null võrdub arvuga:
x - 0 = x
Näiteks:
5 - 0 = 5
Korrutamine nulliga
Numbri korrutamine on võrdne nulliga:
x × 0 = 0
Näiteks:
5 × 0 = 0
Arv jagatud nulliga
Numbri jagamine nulliga pole määratletud:
x ÷ 0 pole määratletud
Näiteks:
5 ÷ 0 on määratlemata
Null jagatud arvuga
Nulli jagamine arvuga on null:
0 ÷ x = 0
Näiteks:
0 ÷ 5 = 0
Arv nullini
Nulliga tõstetud arvu võimsus on üks:
x 0 = 1
Näiteks:
5 0 = 1
Nulllogaritm
Null b-logaritm on määratlemata:
log b (0) pole määratletud
Pole ühtegi numbrit, millega saaksime nulli saamiseks aluse b tõsta.
Ainult x baasi b logaritmi piir x, kui x läheneb nullile, on miinus lõpmatus:
Komplektid, mis sisaldavad nulli
Null on looduslike arvude, täisarvude, reaalarvude ja kompleksarvude kogumi element:
| Määra | Määra liikmemärk |
|---|---|
| Naturaalsed arvud (mitte negatiivsed) | 0 ∈ ℕ 0 |
| Täisarvud | 0 ∈ ℤ |
| Reaalarvud | 0 ∈ ℝ |
| Kompleksarvud | 0 ∈ ℂ |
| Ratsionaalarvud | 0 ∈ ℚ |
Kas null on paaris või paaritu arv?
Paarisarvude komplekt on:
{..., -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
Paaritu arvude komplekt on:
{..., -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...}
Null on täisarvu korrutis 2-st:
0 × 2 = 0
Null on paarisarvude liige:
0 ∈ {2 k , k ∈ℤ}
Nii et null on paarisarv ja mitte paaritu arv.
Kas null on loomulik arv?
Määratud loomulike arvude määratlusi on kaks.
Mittegatiivsete täisarvude komplekt:
ℕ 0 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
Positiivsete täisarvude komplekt:
ℕ 1 = {1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
Null on mittenegatiivsete täisarvude hulga liige:
0 ∈ ℕ 0
Null ei kuulu positiivsete täisarvude komplekti:
0 ∉ ℕ 1
Kas null on täisarv?
Tervetel arvudel on kolm määratlust:
Täisarvude hulk:
ℤ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
Mittegatiivsete täisarvude komplekt:
ℕ 0 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
Positiivsete täisarvude komplekt:
ℕ 1 = {1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
Null on täisarvude hulga ja mittenegatiivsete täisarvude hulga liige:
0 ∈ ℤ
0 ∈ ℕ 0
Null ei kuulu positiivsete täisarvude komplekti:
0 ∉ ℕ 1
Kas null on täisarv?
Täisarvude hulk:
ℤ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
Null on täisarvude hulga liige:
0 ∈ ℤ
Nii et null on täisarv.
Kas null on ratsionaalne arv?
Ratsionaalne arv on arv, mida saab väljendada kahe täisarvu jagatisena:
ℚ = { n / m ; n , m ∈ℤ}
Nulli saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena.
Näiteks:
0 = 0/3
Nii et null on ratsionaalne arv.
Kas null on positiivne arv?
Positiivne arv on määratletud kui arv, mis on suurem kui null:
x / 0
Näiteks:
5/ 0
Kuna null ei ole suurem kui null, pole see ka positiivne arv.
Kas null on algarv?
Number 0 ei ole algarv.
Null ei ole positiivne arv ja jagajaid on lõpmatu arv.
Madalaim algarv on 2.