Logaritmireeglid

Aluse b logaritm mitmete on eksponent , et peame tõstma baasi , et saada number.

Logaritmi määratlus

Kui b tõstetakse y astmele, on võrdne x:

b y = x

Siis võrdub x-i baar b logaritm y-ga:

log b ( x ) = y

Näiteks kui:

2 4 = 16

Siis

log 2 (16) = 4

Logaritm kui eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon

Logaritmiline funktsioon,

y = log b ( x )

on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon,

x = b y

Nii et kui arvutada x (x/ 0) logaritmi eksponentsiaalfunktsioon,

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Või kui arvutame x eksponentsiaalfunktsiooni logaritmi,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Looduslik logaritm (ln)

Looduslik logaritm on aluse e logaritm:

ln ( x ) = log e ( x )

Kui e konstant on arv:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ vasakule (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

või

e = \ lim_ {x \ parempoolne 0} \ vasak (1+ \ parem x) ^ \ frac {1} {x}

 

Vt: Looduslik logaritm

Pöördrogaritmi arvutamine

Pöördrogaritm (või antilogaritm) arvutatakse, tõstes aluse b logaritmile y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmiline funktsioon

Logaritmilisel funktsioonil on põhivorm:

f ( x ) = log b ( x )

Logaritmireeglid

Reegli nimi Reegel
Logaritmi toote reegel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmi jagatisreegel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmi võimsuse reegel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmi baaslüliti reegel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmi aluse muutmise reegel
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritmi tuletis
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Logaritmi lahutamatu osa
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatiivse arvu logaritm
 log b ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0
0 logaritm
 log b (0) pole määratletud
\ lim_ {x \ kuni 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
1 logaritm
 log b (1) = 0
Aluse logaritm
 log b ( b ) = 1
Lõpmatuse logaritm
 lim log b ( x ) = ∞, kui x → ∞

Vt: logaritmi reeglid

 

Logaritmi toote reegel

X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Näiteks:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmi jagatisreegel

X ja y jagunemise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Näiteks:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmi võimsuse reegel

Y-i astmele tõstetud x-i logaritm on y-kordne x-i logaritm.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Näiteks:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logaritmi baaslüliti reegel

C ba-b logaritm on 1 jagatud b-i baas-c logaritmiga.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Näiteks:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Logaritmi aluse muutmise reegel

X baasi b logaritm on x baasi c logaritm jagatud b baasi c logaritmiga.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Näiteks log 2 (8) arvutamiseks kalkulaatoris peame muutma aluse väärtuseks 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Vt: logibaasi muutmise reegel

Negatiivse arvu logaritm

Baasi b reaalne logaritm x-is, kui x <= 0 on määratlemata, kui x on negatiivne või võrdne nulliga:

log b ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0

Vaata: negatiivse arvu logi

0 logaritm

Null b-logaritm on määratlemata:

log b (0) pole määratletud

Kui baasi b logaritmi piirväärtus on x, kui x läheneb nullile, on miinus lõpmatus:

\ lim_ {x \ kuni 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Vaata: logi nullist

1 logaritm

Ühe baasb logaritm on null:

log b (1) = 0

Näiteks on ühe ühe logaritmi alus null:

log 2 (1) = 0

Vaata: ühe logi

Lõpmatuse logaritm

Kui baasi b läheneb lõpmatuseni, on baasi b logaritmi piirväärtus x võrdne lõpmatusega:

lim log b ( x ) = ∞, kui x → ∞

Vaata: lõpmatuse logi

Aluse logaritm

B b-logaritm on üks:

log b ( b ) = 1

Näiteks kahe põhilogaritm kahest on üks:

log 2 (2) = 1

Logaritmi tuletis

Millal

f ( x ) = log b ( x )

Siis tuletis f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Vt: logi tuletis

Logaritmi lahutamatu osa

X logaritmi lahutamatu osa:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Näiteks:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritmi lähendamine

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Kompleksne logaritm

Kompleksarvu z korral:

z = re iθ = x + iy

Kompleksne logaritm on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logi z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktaan ( y / x ))

Logaritmi probleemid ja vastused

Probleem nr 1

Leidke x jaoks

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Lahendus:

Toote reegli kasutamine:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Logaritmi vormi muutmine vastavalt logaritmi määratlusele:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Või

x 2 -3 x -4 = 0

Ruutvõrrandi lahendamine:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Kuna negatiivsete arvude jaoks pole logaritmi määratletud, on vastus:

x = 4

Probleem nr 2

Leidke x jaoks

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Lahendus:

Kasutades jagamisreeglit:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Logaritmi vormi muutmine vastavalt logaritmi määratlusele:

( x +2) / x = 3 2

Või

x +2 = 9 x

Või

8 x = 2

Või

x = 0,25

Logi graafik (x)

log (x) pole määratletud x tegelike mitte-positiivsete väärtuste korral:

Logaritmide tabel

x logi 10 x log 2 x log e x
0 määratlemata määratlemata määratlemata
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1,791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9,965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmi kalkulaator ►

 

Vaata ka

ALGEBRA
KIIRED TABELID