Logarithme naturel - ln (x)

Le logarithme naturel est le logarithme à la base e d'un nombre.

• Définition du logarithme naturel (ln)
• Règles et propriétés du logarithme naturel (LN)
  • Dérivée du logarithme naturel (ln)
  • Intégrale du logarithme naturel (ln)
• Logarithme complexe
• Graphique de ln (x)
• Table des logarithmes naturels (ln)
• Calculateur de logarithme naturel

Définition du logarithme naturel

Quand

e ^y = x

Alors le logarithme de base e de x est

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

La constante e ou le nombre d'Euler est:

e ≈ 2,71828183

Ln comme fonction inverse de la fonction exponentielle

La fonction logarithmique naturelle ln (x) est la fonction inverse de la fonction exponentielle e ^x .

Pour x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Ou

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Règles et propriétés du logarithme naturel

Nom de la règle	Règle	Exemple
Règle du produit	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Règle de quotient	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Règle de puissance	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
En dérivé	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
ln intégral	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln de nombre négatif	ln ( x ) n'est pas défini lorsque x ≤ 0
ln de zéro	ln (0) n'est pas défini
dans un	ln (1) = 0
dans l'infini	lim ln ( x ) = ∞, lorsque x → ∞
L'identité d'Euler	ln (-1) = i π

Règle de produit logarithmique

Le logarithme de la multiplication de x et y est la somme du logarithme de x et du logarithme de y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Par exemple:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Règle du quotient logarithmique

Le logarithme de la division de x et y est la différence du logarithme de x et du logarithme de y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Par exemple:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Règle de puissance logarithmique

Le logarithme de x élevé à la puissance y est y fois le logarithme de x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Par exemple:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Dérivée du logarithme naturel

Le dérivé de la fonction logarithmique naturelle est la fonction réciproque.

Quand

f ( x ) = ln ( x )

La dérivée de f (x) est:

f ' ( x ) = 1 / x

Intégrale du logarithme naturel

L'intégrale de la fonction logarithmique naturelle est donnée par:

Quand

f ( x ) = ln ( x )

L'intégrale de f (x) est:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln de 0

Le logarithme naturel de zéro n'est pas défini:

ln (0) n'est pas défini

La limite proche de 0 du logarithme naturel de x, lorsque x s'approche de zéro, est moins l'infini:

Ln sur 1

Le logarithme naturel de un est zéro:

ln (1) = 0

Ln de l'infini

La limite du logarithme naturel de l'infini, lorsque x s'approche de l'infini est égale à l'infini:

lim ln ( x ) = ∞, lorsque x → ∞

Logarithme complexe

Pour le nombre complexe z:

z = re ^iθ = x + iy

Le logarithme complexe sera (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graphique de ln (x)

ln (x) n'est pas défini pour les valeurs réelles non positives de x:

Table des logarithmes naturels

Règles de logarithme ►

Voir également

• Logarithme (journal)
• Calculateur de logarithme naturel
• Logarithme naturel de zéro
• Logarithme naturel de un
• Logarithme naturel de e
• Logarithme naturel de l'infini
• Logarithme naturel du nombre négatif
• Fonction inverse Ln
• graphe ln (x)
• Table de logarithme naturel
• Calculateur de logarithme
• e constante