Peraturan Logaritma

Yang asas b logaritma nombor adalah eksponen yang kita perlu meningkatkan asas untuk mendapatkan nombor.

Definisi logaritma

Apabila b dinaikkan ke daya y sama x:

b y = x

Maka logaritma asas b adalah sama dengan y:

log b ( x ) = y

Contohnya apabila:

2 4 = 16

Kemudian

log 2 (16) = 4

Logaritma sebagai fungsi songsang fungsi eksponensial

Fungsi logaritma,

y = log b ( x )

adalah fungsi songsang fungsi eksponensial,

x = b y

Oleh itu, jika kita mengira fungsi eksponen logaritma x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Atau jika kita mengira logaritma fungsi eksponen x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritma semula jadi (ln)

Logaritma semula jadi adalah logaritma ke pangkalan e:

ln ( x ) = log e ( x )

Apabila pemalar e adalah nombor:

e = \ lim_ {x \ kanan bawah \ infty} \ kiri (1+ \ frac {1} {x} \ kanan) ^ x = 2.718281828459 ...

atau

e = \ lim_ {x \ kanan bawah 0} \ kiri (1+ \ kanan x) ^ \ frac {1} {x}

 

Lihat: Logaritma semula jadi

Pengiraan logaritma terbalik

Logaritma songsang (atau anti logaritma) dikira dengan menaikkan asas b ke logaritma y:

x = log -1 ( y ) = b y

Fungsi logaritma

Fungsi logaritma mempunyai bentuk asas:

f ( x ) = log b ( x )

Peraturan logaritma

Nama peraturan Peraturan
Peraturan produk logaritma
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Peraturan hasil bagi logaritma
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Peraturan kuasa logaritma
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Peraturan suis asas logaritma
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Peraturan perubahan asas logaritma
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivatif logaritma
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integrasi logaritma
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritma nombor negatif
log b ( x ) tidak ditentukan apabila x ≤ 0
Logaritma 0
log b (0) tidak ditentukan
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritma 1
log b (1) = 0
Logaritma asas
log b ( b ) = 1
Logaritma tak terhingga
lim log b ( x ) = ∞, apabila x → ∞

Lihat: Peraturan logaritma

 

Peraturan produk logaritma

Logaritma pendaraban x dan y adalah jumlah logaritma x dan logaritma y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Sebagai contoh:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Peraturan hasil bagi logaritma

Logaritma pembahagian x dan y adalah perbezaan logaritma x dan logaritma y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Sebagai contoh:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Peraturan kuasa logaritma

Logaritma x dinaikkan kepada daya y adalah y kali ganda daripada logaritma x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Sebagai contoh:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Peraturan suis asas logaritma

Logaritma asas b ialah 1 dibahagikan dengan logaritma asas

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Sebagai contoh:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Peraturan perubahan asas logaritma

Asas b logaritma x ialah asas c logaritma x dibahagi dengan asas c logaritma b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Sebagai contoh, untuk mengira log 2 (8) dalam kalkulator, kita perlu menukar asas menjadi 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Lihat: peraturan perubahan asas log

Logaritma nombor negatif

Logaritma asas b asas x apabila x <= 0 tidak ditentukan apabila x negatif atau sama dengan sifar:

log b ( x ) tidak ditentukan apabila x ≤ 0

Lihat: log nombor negatif

Logaritma 0

Logaritma asas b sifar tidak ditentukan:

log b (0) tidak ditentukan

Had logaritma asas b, apabila x menghampiri sifar, adalah minus tak terhingga:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Lihat: log sifar

Logaritma 1

Logaritma asas b adalah sifar:

log b (1) = 0

Sebagai contoh, asas dua logaritma satu adalah sifar:

log 2 (1) = 0

Lihat: log satu

Logaritma tak terhingga

Had logaritma asas b x, apabila x mendekati tak terhingga, sama dengan tak terhingga:

lim log b ( x ) = ∞, apabila x → ∞

Lihat: log infiniti

Logaritma asas

Logaritma asas b adalah satu:

log b ( b ) = 1

Sebagai contoh, asas dua logaritma dua adalah satu:

log 2 (2) = 1

Derivatif logaritma

Bila

f ( x ) = log b ( x )

Maka terbitan f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Lihat: derivatif log

Logaritma kamiran

Kamiran logaritma x:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Sebagai contoh:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Penghampiran logaritma

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritma kompleks

Untuk nombor kompleks z:

z = re = x + iy

Logaritma kompleks akan (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Masalah dan jawapan logaritma

Masalah # 1

Cari x untuk

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Penyelesaian:

Menggunakan peraturan produk:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Menukar bentuk logaritma mengikut definisi logaritma:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Atau

x 2 -3 x -4 = 0

Menyelesaikan persamaan kuadratik:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Oleh kerana logaritma tidak ditentukan untuk nombor negatif, jawapannya adalah:

x = 4

Masalah # 2

Cari x untuk

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Penyelesaian:

Menggunakan peraturan bagi:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Menukar bentuk logaritma mengikut definisi logaritma:

( x +2) / x = 3 2

Atau

x +2 = 9 x

Atau

8 x = 2

Atau

x = 0.25

Graf log (x)

log (x) tidak didefinisikan untuk nilai bukan positif sebenar x:

Jadual logaritma

x log 10 x log 2 x log e x
0 tidak ditentukan tidak ditentukan tidak ditentukan
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Kalkulator logaritma ►

 


Lihat juga

ALGEBRA
JADUAL RAPID