Pravila logaritma
Baza b logaritem številnih je eksponent , da moramo dvigniti osnove , da bi dobili številko.
- Definicija logaritma
- Pravila logaritma
- Težave z logaritmom
- Kompleksni logaritem
- Graf dnevnika (x)
- Tabela logaritmov
- Logaritemski kalkulator
Definicija logaritma
Ko je b dvignjen na stopnjo y, je enako x:
b y = x
Potem je osnovni b logaritem x enak y:
log b ( x ) = y
Na primer, ko:
2 4 = 16
Potem
log 2 (16) = 4
Logaritem kot inverzna funkcija eksponentne funkcije
Logaritmična funkcija,
y = log b ( x )
je inverzna funkcija eksponentne funkcije,
x = b y
Torej, če izračunamo eksponentno funkcijo logaritma x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Ali če izračunamo logaritem eksponentne funkcije x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Naravni logaritem (ln)
Naravni logaritem je logaritem za osnovo e:
ln ( x ) = log e ( x )
Ko je e konstanta število:
ali
Glej: Naravni logaritem
Izračun inverznega logaritma
Inverzni logaritem (ali anti logaritem) se izračuna tako, da se osnova b dvigne na logaritem y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritmična funkcija
Logaritemska funkcija ima osnovno obliko:
f ( x ) = log b ( x )
Pravila logaritma
| Ime pravila | Pravilo |
|---|---|
Pravilo logaritemskega izdelka |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Pravilo količnika logaritma |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Pravilo moči logaritma |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Pravilo osnovnega stikala logaritma |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Pravilo spremembe osnove logaritma |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Izpeljanka logaritma |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Integral logaritma |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritem negativnega števila |
log b ( x ) ni definiran, kadar je x ≤ 0 |
Logaritem 0 |
log b (0) ni opredeljen |
 |
|
Logaritem 1 |
log b (1) = 0 |
Logaritem osnove |
log b ( b ) = 1 |
Logaritem neskončnosti |
lim log b ( x ) = ∞, ko je x → ∞ |
Glej: Pravila logaritma
Pravilo logaritemskega izdelka
Logaritem množenja x in y je vsota logaritma x in logaritma y.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Na primer:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Pravilo količnika logaritma
Logaritem delitve x in y je razlika logaritma x in logaritma y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Na primer:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Pravilo moči logaritma
Logaritem x, dvignjen na stopnjo y, je y pomnožen z logaritmom x.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Na primer:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Pravilo osnovnega stikala logaritma
Osnovni b logaritem c je 1 deljen z osnovnim c logaritmom b.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Na primer:
dnevnik 2 (8) = 1 / dnevnik 8 (2)
Pravilo spremembe osnove logaritma
Osnovni b logaritem x je logaritem c c, deljen z osnovnim c logaritmom b.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Na primer, da izračunamo dnevnik 2 (8) v kalkulatorju, moramo spremeniti osnovo na 10:
dnevnik 2 (8) = dnevnik 10 (8) / dnevnik 10 (2)
Glej: pravilo spremembe dnevnika baze
Logaritem negativnega števila
Realni logaritem b za x, kadar je x <= 0, ni opredeljen, če je x negativen ali enak nič:
log b ( x ) ni definiran, kadar je x ≤ 0
Glej: dnevnik negativnega števila
Logaritem 0
Osnovni logaritem b nič ni opredeljen:
log b (0) ni opredeljen
Meja osnovnega b logaritma x, ko se x približa ničli, je minus neskončnost:
Glej: dnevnik nič
Logaritem 1
Osnovni b logaritem ena je nič:
log b (1) = 0
Na primer, osnovni logaritem dva ena je nič:
log 2 (1) = 0
Glej: dnevnik enega
Logaritem neskončnosti
Meja osnovnega b logaritma x, ko se x približuje neskončnosti, je enaka neskončnosti:
lim log b ( x ) = ∞, ko je x → ∞
Glej: dnevnik neskončnosti
Logaritem osnove
Logaritem b osnove b je enak:
log b ( b ) = 1
Na primer, osnovni logaritem dveh dveh je ena:
log 2 (2) = 1
Izvedba logaritma
Kdaj
f ( x ) = log b ( x )
Potem je izpeljanka f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Glej: izpeljanka dnevnika
Logaritemski integral
Integral logaritma x:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Na primer:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Približevanje logaritma
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Kompleksni logaritem
Za kompleksno število z:
z = re iθ = x + iy
Kompleksni logaritem bo (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Logaritemske težave in odgovori
Problem 1
Poiščite x za
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Rešitev:
Uporaba pravila izdelka:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Spreminjanje oblike logaritma glede na definicijo logaritma:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Ali
x 2 -3 x -4 = 0
Reševanje kvadratne enačbe:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Ker logaritem ni definiran za negativna števila, je odgovor:
x = 4
Problem 2
Poiščite x za
dnevnik 3 ( x +2) - dnevnik 3 ( x ) = 2
Rešitev:
Uporaba pravila količnika:
dnevnik 3 (( x +2) / x ) = 2
Spreminjanje oblike logaritma glede na definicijo logaritma:
( x +2) / x = 3 2
Ali
x +2 = 9 x
Ali
8 x = 2
Ali
x = 0,25
Graf dnevnika (x)
log (x) ni definiran za realne pozitivne vrednosti x:
Tabela logaritmov
| x | dnevnik 10 x | log 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | nedoločeno | nedoločeno | nedoločeno |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13,287712 | -9,210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4.605170 |
| 0,1 | -1 | -3,321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0,477121 | 1,584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
| 7 | 0,845098 | 2,807355 | 1.945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3,169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2,302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1,602060 | 5.321928 | 3,688879 |
| 50 | 1,698970 | 5.643856 | 3,912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1,845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1,903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4,499810 |
| 100 | 2 | 6,643856 | 4,605170 |
| 200 | 2,301030 | 7,643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8,228819 | 5,703782 |
| 400 | 2,602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2,698970 | 8,965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9,228819 | 6,396930 |
| 700 | 2,845098 | 9.451211 | 6,551080 |
| 800 | 2,903090 | 9,643856 | 6,684612 |
| 900 | 2.954243 | 9,813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Poglej tudi
- Pravila logaritma
- Logaritemska sprememba osnove
- Logaritem nič
- Logaritem enega
- Logaritem neskončnosti
- Logaritem negativnega števila
- Logaritemski kalkulator
- Logaritemski graf
- Tabela logaritmov
- Kalkulator naravnega logaritma
- Naravni logaritem - ln x
- e konstanta
- Decibel (dB)