Naturlig logaritm - ln (x)

Naturlig logaritm är logaritmen till basen av ett tal.

• Naturlig logaritm (ln) definition
• Naturliga logaritm (ln) regler och egenskaper
  • Derivat av naturlig logaritm (ln)
  • Integral av naturlig logaritm (ln)
• Komplex logaritm
• Graf för ln (x)
• Naturliga logaritmer (ln) tabell
• Naturlig logaritmräknare

Definition av naturlig logaritm

När

e ^y = x

Då är bas e-logaritmen för x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Den e konstant eller Eulers nummer är:

e ≈ 2.71828183

Ln som invers funktion av exponentiell funktion

Den naturliga logaritmfunktionen ln (x) är den inversa funktionen hos den exponentiella funktionen e ^x .

För x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Eller

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Naturliga logaritmregler och egenskaper

Regelnamn	Regel	Exempel
Produktregel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Kvotientregel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Kraftregel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
I derivat	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
en integrerad	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln av negativt tal	ln ( x ) är odefinierad när x ≤ 0
noll	ln (0) är odefinierad
av en	ln (1) = 0
av oändligheten	lim ln ( x ) = ∞, när x → ∞
Eulers identitet	ln (-1) = i π

Logaritmproduktregel

Logaritmen för multiplikationen av x och y är summan av logaritmen för x och logaritmen för y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Till exempel:

logg ₁₀ (3 ∙ 7) = logg ₁₀ (3) + logg ₁₀ (7)

Logaritmkvotientregel

Logaritmen för delningen av x och y är skillnaden mellan logaritmen för x och logaritmen för y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Till exempel:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmens kraftregel

Logaritmen för x höjd till y-effekten är y gånger logaritmen för x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Till exempel:

logg ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ logg ₁₀ (2)

Derivat av naturlig logaritm

Derivat av den naturliga logaritmfunktionen är den ömsesidiga funktionen.

När

f ( x ) = ln ( x )

Derivatet av f (x) är:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral av naturlig logaritm

Integralen i den naturliga logaritmfunktionen ges av:

När

f ( x ) = ln ( x )

Integralen av f (x) är:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln av 0

Den naturliga logaritmen om noll är odefinierad:

ln (0) är odefinierad

Gränsen nära 0 för den naturliga logaritmen av x, när x närmar sig noll, är minus oändlighet:

Ln av 1

Den naturliga logaritmen för en är noll:

ln (1) = 0

Ln av oändligheten

Gränsen för oändlighetens naturliga logaritm när x närmar sig oändligheten är lika med oändligheten:

lim ln ( x ) = ∞, när x → ∞

Komplex logaritm

För komplexa nummer z:

z = re ^iθ = x + iy

Den komplexa logaritmen kommer att vara (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logga z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graf för ln (x)

ln (x) definieras inte för verkliga icke-positiva värden på x:

Naturlig logaritmtabell

Logaritmregler ►

Se även

• Logaritm (logg)
• Naturlig logaritmräknare
• Naturlig logaritm på noll
• Naturlig logaritm av en
• Naturlig logaritm av e
• Oändlighetens naturliga logaritm
• Naturlig logaritm med negativt tal
• Ln invers funktion
• ln (x) graf
• Naturlig logaritmbord
• Logaritm-kalkylator
• e konstant