పాక్షిక ఘాతాంకాలు

పాక్షిక ఘాతాంకాలను ఎలా పరిష్కరించాలి.

పాక్షిక ఘాతాంకాలను సులభతరం చేస్తుంది

N / m యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ b కి సమానం:

బి n / m = ( mబి ) n = m (బి n )

ఉదాహరణ:

3/2 యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ 2 1 కు సమానం, 3 యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ 2 ద్వారా విభజించబడింది:

2 3/2 = 2 (2 3 ) = 2.828

ఘాతాంకాలతో భిన్నాలను సులభతరం చేస్తుంది

ఘాతాంకాలతో భిన్నాలు:

( a / b ) n = a n / b n

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 = 4 3 /3 3 = 64/27 = 2.37

ప్రతికూల పాక్షిక ఘాతాంకాలు

మైనస్ n / m యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ b 1 కు సమానం, బేస్ b ద్వారా n / m యొక్క శక్తికి పెంచబడుతుంది:

బి -n / m = 1 / బి n / m = 1 / ( mబి ) n

ఉదాహరణ:

మైనస్ 1/2 యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ 2 1/2 శక్తికి పెంచబడిన బేస్ 2 ద్వారా 1 కు విభజించబడింది:

2 -1/2 = 1/2 1/2 = 1 / 2 = 0.7071

ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో భిన్నాలు

మైనస్ n యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ a / b 1 కు సమానం, బేస్ a / b ద్వారా n యొక్క శక్తికి పెంచబడుతుంది:

( a / b ) - n = 1 / ( a / b ) n = 1 / ( a n / b n ) = b n / a n

ఉదాహరణ:

మైనస్ 3 యొక్క శక్తికి పెంచబడిన బేస్ 2 1 కు సమానం, బేస్ 2 ద్వారా 3 యొక్క శక్తికి పెంచబడుతుంది:

(2/3) -2 = 1 / (2/3) 2 = 1 / (2 2 /3 2 ) = 3 2 /2 2 = 9/4 = 2.25

పాక్షిక ఘాతాంకాలను గుణించడం

పాక్షిక ఘాతాంకాలను ఒకే పాక్షిక ఘాతాంకంతో గుణించడం:

a n / mb n / m = ( ab ) n / m

ఉదాహరణ:

2 3/2 ⋅ 3 3/2 = (2⋅3) 3/2 = 6 3/2 = (6 3 ) = 216 = 14.7

 

పాక్షిక ఘాతాంకాలను ఒకే బేస్ తో గుణించడం:

a n / ma k / j = a ( n / m) + (k / j)

ఉదాహరణ:

2 3/2 ⋅ 2 4/3 = 2 (3/2) + (4/3) = 7.127

 

భిన్న ఘాతాంకాలు మరియు భిన్నాలతో భిన్న ఘాతాంకాలను గుణించడం:

a n / mb k / j

ఉదాహరణ:

2 3/2 ⋅ 3 4/3 = (2 3 ) ⋅ 3 (3 4 ) = 2,828 ⋅ 4.327 = 12.237

భిన్నాలను ఘాతాంకాలతో గుణించడం

భిన్న భిన్నాలను ఒకే భిన్న బేస్ తో ఘాతాంకాలతో గుణించడం:

( a / b ) n ⋅ ( a / b ) m = ( a / b ) n + m

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 ⋅ (4/3) 2 = (4/3) 3 + 2 = (4/3) 5 = 4 5 /3 5 = 4.214

 

ఒకే ఘాతాంకంతో ఘాతాంకాలతో భిన్నాలను గుణించడం:

( a / b ) n ⋅ ( c / d ) n = (( a / b ) ⋅ ( c / d )) n

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 ⋅ (3/5) 3 = ((4/3) ⋅ (3/5)) 3 = (4/5) 3 = 0.8 3 = 0.8⋅0.8⋅0.8 = 0.512

 

విభిన్న స్థావరాలు మరియు ఘాతాంకాలతో ఘాతాంకాలతో భిన్నాలను గుణించడం:

( a / b ) n ( c / d ) m

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 ⋅ (1/2) 2 = 2.37 / 0.25 = 9.481

పాక్షిక ఘాతాంకాలను విభజించడం

పాక్షిక ఘాతాంకాలను ఒకే పాక్షిక ఘాతాంకంతో విభజించడం:

a n / m / b n / m = ( a / b ) n / m

ఉదాహరణ:

3 3/2 / 2 3/2 = (3/2) 3/2 = 1.5 3/2 = (1.5 3 ) = 3.375 = 1.837

 

పాక్షిక ఘాతాంకాలను ఒకే బేస్ తో విభజించడం:

a n / m / a k / j = a ( n / m) - (k / j)

ఉదాహరణ:

2 3/2 / 2 4/3 = 2 (3/2) - (4/3) = 2 (1/6) = 6 2 = 1.122

 

భిన్న ఘాతాంకాలను విభిన్న ఘాతాంకాలు మరియు భిన్నాలతో విభజించడం:

a n / m / b k / j

ఉదాహరణ:

2 3/2 / 3 4/3 = (2 3 ) / 3 (3 4 ) = 2.828 / 4.327 = 0.654

భిన్నాలను ఘాతాంకాలతో విభజించడం

భిన్నాలను ఒకే భిన్న బేస్ తో ఘాతాంకాలతో విభజించడం:

( a / b ) n / ( a / b ) m = ( a / b ) nm

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 / (4/3) 2 = (4/3) 3-2 = (4/3) 1 = 4/3 = 1.333

 

భిన్నాలను ఒకే ఘాతాంకంతో ఘాతాంకాలతో విభజించడం:

( a / b ) n / ( c / d ) n = (( a / b ) / ( c / d )) n = (( a⋅d / b⋅c )) n

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 / (3/5) 3 = ((4/3) / (3/5)) 3 = ((4⋅5) / (3⋅3)) 3 = (20/9) 3 = 10.97

 

భిన్న స్థావరాలు మరియు ఘాతాంకాలతో ఘాతాంకాలతో భిన్నాలను విభజించడం:

( a / b ) n / ( c / d ) m

ఉదాహరణ:

(4/3) 3 / (1/2) 2 = 2.37 / 0.25 = 9.481

పాక్షిక ఘాతాంకాలను కలుపుతోంది

పాక్షిక ఘాతాంకాలను జోడించడం మొదట ప్రతి ఘాతాంకాన్ని పెంచడం ద్వారా మరియు తరువాత జోడించడం ద్వారా జరుగుతుంది:

a n / m + b k / j

ఉదాహరణ:

3 3/2 + 2 5/2 = √ (3 3 ) + √ (2 5 ) = √ (27) + √ (32) = 5.196 + 5.657 = 10.853

 

అదే స్థావరాలను జోడించడం b మరియు ఘాతాంకాలు n / m:

b n / m + b n / m = 2 b n / m

ఉదాహరణ:

4 2/3 + 4 2/3 = 2⋅4 2/3 = 2 ⋅ 3 (4 2 ) = 5.04

పాక్షిక ఘాతాంకాలను తీసివేయడం

పాక్షిక ఘాతాంకాలను తీసివేయడం మొదట ప్రతి ఘాతాంకాన్ని పెంచడం ద్వారా మరియు తరువాత తీసివేయడం ద్వారా జరుగుతుంది:

a n / m - b k / j

ఉదాహరణ:

3 3/2 - 2 5/2 = √ (3 3 ) - √ (2 5 ) = √ (27) - √ (32) = 5.196 - 5.657 = -0.488

 

ఒకే స్థావరాలను తీసివేయడం b మరియు ఘాతాంకాలు n / m:

3 b n / m - b n / m = 2 b n / m

ఉదాహరణ:

3⋅4 2/3 - 4 2/3 = 2⋅4 2/3 = 2 ⋅ 3 √ (4 2 ) = 5.04

 


ఇది కూడ చూడు

ఎక్స్పోనెంట్లు
రాపిడ్ టేబుల్స్