Як розв’язувати дробові показники степеня.
Основа b, піднята до потужності н / м, дорівнює:
b n / m = ( m √ b ) n = m √ (b n )
Приклад:
Основа 2, піднята в ступінь 3/2, дорівнює 1, поділеній на основу 2, підняту в ступінь 3:
2 3/2 = 2 √ (2 3 ) = 2.828
Дроби з експонентами:
( a / b ) n = a n / b n
Приклад:
(4/3) 3 = 4 3 /3 3 = 64/27 = 2,37
Основа b, піднята до потужності мінус n / m, дорівнює 1, поділеній на базу b, підняту до потужності n / m:
b -n / m = 1 / b n / m = 1 / ( m √ b ) n
Приклад:
Основа 2, піднята до ступеня мінус 1/2, дорівнює 1, поділеній на основу 2, підняту до ступеня 1/2:
2 -1/2 = 1/2 1/2 = 1 / √ 2 = 0,7071
Основа a / b, піднята в ступінь мінус n, дорівнює 1, поділена на базу a / b, підняту в ступінь n:
( a / b ) - n = 1 / ( a / b ) n = 1 / ( a n / b n ) = b n / a n
Приклад:
Основа 2, піднята в ступінь мінус 3, дорівнює 1, поділеній на основу 2, підняту в ступінь 3:
(2/3) -2 = 1 / (2/3) 2 = 1 / (2 2 /3 2 ) = 3 2 /2 2 = 9/4 = 2,25
Множення дробових показників з тим самим дробовим показником:
a n / m ⋅ b n / m = ( a ⋅ b ) n / m
Приклад:
2 3/2 ⋅ 3 3/2 = (2⋅3) 3/2 = 6 3/2 = √ (6 3 ) = √ 216 = 14,7
Множення дробових показників з однаковою основою:
a n / m ⋅ a k / j = a ( n / m) + (k / j)
Приклад:
2 3/2 ⋅ 2 4/3 = 2 (3/2) + (4/3) = 7.127
Множення дробових показників з різними показниками та частками:
a n / m ⋅ b k / j
Приклад:
2 3/2 ⋅ 3 4/3 = √ (2 3 ) ⋅ 3 √ (3 4 ) = 2.828 ⋅ 4.327 = 12.237
Множення дробів з експонентами з однаковою основою дробу:
( a / b ) n ⋅ ( a / b ) m = ( a / b ) n + m
Приклад:
(4/3) 3 ⋅ (4/3) 2 = (4/3) 3 + 2 = (4/3) 5 = 4 5 /3 5 = 4,214
Множення дробів з показниками ступеня з однаковим показником:
( a / b ) n ⋅ ( c / d ) n = (( a / b ) ⋅ ( c / d )) n
Приклад:
(4/3) 3 ⋅ (3/5) 3 = ((4/3) ⋅ (3/5)) 3 = (4/5) 3 = 0,8 3 = 0,8⋅0,8⋅0,8 = 0,512
Множення дробів з показниками степеня з різними основами та показниками:
( a / b ) n ⋅ ( c / d ) m
Приклад:
(4/3) 3 ⋅ (1/2) 2 = 2,37 / 0,25 = 9,481
Поділ дробових показників на той самий дробовий показник:
a n / m / b n / m = ( a / b ) n / m
Приклад:
3 3/2 / 2 3/2 = (3/2) 3/2 = 1,5 3/2 = √ (1,5 3 ) = √ 3,375 = 1,837
Поділ дробових показників з однаковою основою:
a n / m / a k / j = a ( n / m) - (k / j)
Приклад:
2 3/2 / 2 4/3 = 2 (3/2) - (4/3) = 2 (1/6) = 6 √ 2 = 1.122
Поділ дробових показників на різні показники та частки:
a n / m / b k / j
Приклад:
2 3/2 / 3 4/3 = √ (2 3 ) / 3 √ (3 4 ) = 2,828 / 4,327 = 0,654
Розділення дробів з показниками ступеня з однаковою основою дробу:
( a / b ) n / ( a / b ) m = ( a / b ) нм
Приклад:
(4/3) 3 / (4/3) 2 = (4/3) 3-2 = (4/3) 1 = 4/3 = 1.333
Ділення дробів на показники ступеня з однаковим показником:
( a / b ) n / ( c / d ) n = (( a / b ) / ( c / d )) n = (( a⋅d / b⋅c )) n
Приклад:
(4/3) 3 / (3/5) 3 = ((4/3) / (3/5)) 3 = ((4⋅5) / (3⋅3)) 3 = (20/9) 3 = 10,97
Ділення дробів на показники степенів з різними основами та показниками ступеня:
( a / b ) n / ( c / d ) m
Приклад:
(4/3) 3 / (1/2) 2 = 2,37 / 0,25 = 9,481
Додавання дробових показників виконується шляхом спочатку підняття кожного показника, а потім додавання:
a n / m + b k / j
Приклад:
3 3/2 + 2 5/2 = √ (3 3 ) + √ (2 5 ) = √ (27) + √ (32) = 5.196 + 5.657 = 10.853
Додавання однакових основ b та показників n / m:
b n / m + b n / m = 2 b n / m
Приклад:
4 2/3 + 4 2/3 = 2⋅4 2/3 = 2 ⋅ 3 √ (4 2 ) = 5.04
Віднімання дробових показників виконується шляхом спочатку підняття кожного показника, а потім віднімання:
a n / m - b k / j
Приклад:
3 3/2 - 2 5/2 = √ (3 3 ) - √ (2 5 ) = √ (27) - √ (32) = 5.196 - 5.657 = -0.488
Віднімання тих самих основ b та показників n / m:
3 б н / м - б н / м = 2 б н / м
Приклад:
3⋅4 2/3 - 4 2/3 = 2⋅4 2/3 = 2 ⋅ 3 √ (4 2 ) = 5.04