自然对数-ln（x）
自然对数是数字以e为底的对数。
自然对数的定义
什么时候
Ë ÿ = X
那么x的底e对数是
ln（x）=对数e（x）= y
该Ë常数或欧拉数为：
Ë ≈2.71828183
Ln是指数函数的反函数
自然对数函数ln（x）是指数函数e x的反函数。
对于x/ 0，
f（f -1（x））= e ln（x） = x
或
f -1（f（x））= ln（e x）= x
自然对数规则和属性
| 规则名称 | 规则 | 例 |
|---|---|---|
产品规则 |
ln（x∙y）= ln（x）+ ln（y） |
ln（3 ∙ 7）= ln（3）+ ln（7） |
商法则 |
LN（X / Y）= LN（X）- LN（Ý） |
LN（3 / 7）= LN（3）- LN（7） |
功率规则 |
ln（x y）= y∙ ln（x） |
ln（2 8）= 8 ∙ ln（2） |
ln衍生物 |
f（x）= ln（x） ⇒f '（x）= 1 / x | |
ln积分 |
∫ln （x）dx = x∙（ln（x）-1）+ C | |
负数ln |
LN（X）是未定义当 X ≤0 | |
ln为零 |
ln（0）未定义 | |
 |
||
ln一 |
ln（1）= 0 | |
无限大 |
lim ln（x）=∞，当x →∞ | |
| 欧拉的身份 | LN（-1）=我π |
对数乘积规则
x和y的对数是x和y的对数之和。
log b（x∙y）= log b（x）+ log b（y）
例如：
日志10（3 ∙ 7）=日志10（3）+日志10（7）
对数商法则
x和y的对数是x和y的对数之差。
日志b（X / Y）=日志b（X）-日志b（Ý）
例如：
日志10（3 / 7）=日志10（3）-日志10（7）
对数幂规则
x的对数提高到y的幂是y乘以x的对数。
log b（x y）= y∙ log b（x）
例如：
日志10（2 8）= 8 ∙日志10（2）
自然对数的导数
自然对数函数的导数是倒数函数。
什么时候
f（x）= ln（x）
f（x）的导数为：
f'（x）= 1 / x
自然对数的积分
自然对数函数的积分由下式给出：
什么时候
f（x）= ln（x）
f（x）的积分是：
∫ ˚F（X）DX =∫ LN（X）DX = X∙（LN（X） - 1）+ C ^
Ln为0
零的自然对数未定义：
ln（0）未定义
x接近零时，x的自然对数的接近于0的极限为负无穷大：
1的Ln
1的自然对数为零：
ln（1）= 0
无穷大
当x接近无穷大时，无穷大自然对数的极限等于无穷大：
当x →∞时lim ln（x）= ∞
复数对数
对于复数z：
z = reiθ = x + iy
复数对数为（n = ...- 2，-1,0,1,2，...）：
对数z = ln（r）+ i（θ+2nπ）= ln（√（x 2 + y 2））+ i ·arctan（y / x））
ln（x）的图
没有为x的实非正值定义ln（x）：
自然对数表
| x | ln x |
|---|---|
| 0 | 未定义 |
| 0 + | -∞ |
| 0.0001 | -9.210340 |
| 0.001 | -6.907755 |
| 0.01 | -4.605170 |
| 0.1 | -2.302585 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0.693147 |
| Ë ≈2.7183 | 1 |
| 3 | 1.098612 |
| 4 | 1.386294 |
| 5 | 1.609438 |
| 6 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3.401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3.912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6.551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |