对数规则
数字的底数b对数是我们为了获得数字而需要提高底数的指数。
对数定义
当b提高到y的幂等于x时：
b y = x
然后，x的基数b对数等于y：
log b（x）= y
例如，当：
2 4 = 16
然后
对数2（16）= 4
对数为指数函数的反函数
对数函数
y = log b（x）
是指数函数的反函数，
x = b y
因此，如果我们计算x（x/ 0）的对数的指数函数，
f（f -1（x））= b log b （x） = x
或者，如果我们计算x的指数函数的对数，
f -1（f（x））= log b（b x）= x
自然对数（ln）
自然对数是以e为底的对数：
ln（x）= log e（x）
当e常数是数字时：
或
请参阅：自然对数
反对数计算
通过将底数b提高到对数y来计算反对数（或反对数）：
x = log -1（y）= b y
对数函数
对数函数的基本形式为：
f（x）=对数b（x）
对数规则
| 规则名称 | 规则 |
|---|---|
对数乘积规则 |
log b（x∙y）= log b（x）+ log b（y） |
对数商法则 |
日志b（X / Y）=日志b（X）-日志b（Ý） |
对数幂规则 |
log b（x y）= y∙ log b（x） |
对数基数切换规则 |
log b（c）= 1 / log c（b） |
对数基数更改规则 |
log b（x）= log c（x）/ log c（b） |
对数导数 |
f（x）=对数b（x） ⇒f '（x）= 1 /（x ln（b）） |
对数积分 |
∫ 日志b（X）DX = X∙（日志b（X） - 1 / LN（b） ）+ C ^ |
负数的对数 |
日志b（X）是未定义当 X ≤0 |
对数0 |
日志b（0）未定义 |
 |
|
1的对数 |
log b（1）= 0 |
底数的对数 |
log b（b）= 1 |
无穷大的对数 |
LIM日志b（X）= ∞，当X →∞ |
另请：对数规则
对数乘积规则
x和y的对数是x和y的对数之和。
log b（x∙y）= log b（x）+ log b（y）
例如：
日志10（3 ∙ 7）=日志10（3）+日志10（7）
对数商法则
x和y的对数是x和y的对数之差。
日志b（X / Y）=日志b（X）-日志b（Ý）
例如：
日志10（3 / 7）=日志10（3）-日志10（7）
对数幂规则
x的对数提高到y的幂是y乘以x的对数。
log b（x y）= y∙ log b（x）
例如：
日志10（2 8）= 8 ∙日志10（2）
对数基数切换规则
c的底b对数为1除以b的底c对数。
log b（c）= 1 / log c（b）
例如：
log 2（8）= 1 / log 8（2）
对数基数更改规则
x的底b对数是x的底c对数除以b的底c对数。
log b（x）= log c（x）/ log c（b）
例如，为了在计算器中计算对数2（8），我们需要将底数更改为10：
日志2（8）=日志10（8）/日志10（2）
请参阅：日志基准更改规则
负数的对数
当x <= 0时，当x为负或等于零时，x的基数b实对数不确定：
日志b（X）是未定义当 X ≤0
请参阅：负数日志
对数0
未定义以b为底的对数：
日志b（0）未定义
x接近零时，x的基b对数的极限为负无穷大：
请参阅：零对数
1的对数
1的底b对数为零：
log b（1）= 0
例如，以1为底的两个对数为零：
对数2（1）= 0
另请：日志一
无穷大的对数
x接近无穷大时，x的基b对数的极限等于无穷大：
当x →∞时lim log b（x）= ∞
请参阅：无限对数
底数的对数
b的底b对数为1：
log b（b）= 1
例如，以2为底的对数为1：
对数2（2）= 1
对数导数
什么时候
f（x）=对数b（x）
然后f（x）的导数：
f'（x）= 1 /（x ln（b））
另请：对数导数
对数积分
x的对数的积分：
∫ 日志b（X）DX = X∙（日志b（X） - 1 / LN（b） ）+ C ^
例如：
∫ 日志2（X）DX = X∙（日志2（X） - 1 / LN（2） ）+ C ^
对数近似
日志2（X）≈ Ñ +（X / 2 Ñ - 1），
复数对数
对于复数z：
z = reiθ = x + iy
复数对数为（n = ...- 2，-1,0,1,2，...）：
对数z = ln（r）+ i（θ+2nπ）= ln（√（x 2 + y 2））+ i ·arctan（y / x））
对数问题与解答
问题1
查找x
log 2（x）+ log 2（x -3）= 2
解：
使用产品规则：
对数2（x∙（x -3））= 2
根据对数定义更改对数形式：
x∙（x -3）= 2 2
或
x 2 -3 x -4 = 0
求解二次方程：
x 1,2 = [3±√（9 + 16）] / 2 = [3±5] / 2 = 4，-1
由于没有为负数定义对数，因此答案是：
x = 4
问题二
查找x
log 3（x +2）-log 3（x）= 2
解：
使用商规则：
对数3（（x +2）/ x）= 2
根据对数定义更改对数形式：
（x +2）/ x = 3 2
或
x +2 = 9 x
或
8 x = 2
或
x = 0.25
对数图（x）
没有为x的实数非正值定义log（x）：
对数表
| x | 记录10 x | 日志2 x | 登录Ë X |
|---|---|---|---|
| 0 | 未定义 | 未定义 | 未定义 |
| 0 + | -∞ | -∞ | -∞ |
| 0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0.001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
| 0.01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.301030 | 1 | 0.693147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0.602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0.698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0.903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |