Естествен логаритъм - ln (x)

Естествен логаритъм е логаритъмът към основата e на число.

• Определение на естествен логаритъм (ln)
• Правила и свойства на естествения логаритъм (ln)
  • Производно на естествен логаритъм (ln)
  • Интеграл от естествен логаритъм (ln)
• Сложен логаритъм
• Графика на ln (x)
• Таблица с естествени логаритми (ln)
• Калкулатор с естествен логаритъм

Определение на естествен логаритъм

Кога

e ^y = x

Тогава база e логаритъм на x е

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

В константа д или номер на Ойлер е:

e ≈ 2.71828183

Ln като обратна функция на експоненциална функция

Функцията на естествения логаритъм ln (x) е обратната функция на експоненциалната функция e ^x .

За x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Или

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Правила и свойства на естествения логаритъм

Име на правилото	Правило	Пример
Правило за продукта	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Правило за коефициент	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	LN (3 / 7) = LN (3) - LN (7)
Правило на властта	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
ln производно	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
В интеграл	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln от отрицателно число	ln ( x ) е недефинирано, когато x ≤ 0
в нула	ln (0) е недефиниран
ln от един	ln (1) = 0
ln безкрайност	lim ln ( x ) = ∞, когато x → ∞
Самоличността на Ойлер	ln (-1) = i π

Правило за логаритмен продукт

Логаритъмът на умножението на x и y е сумата от логаритъма на x и логаритъма на y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Например:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Правило за коефициент на логаритъма

Логаритъмът на разделението на x и y е разликата в логаритъма на x и логаритъма на y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Например:

влизане ₁₀ (3 / 7) = влизане ₁₀ (3) - влизане ₁₀ (7)

Правило за степента на логаритъма

Логаритъмът на х, повдигнат до степента на у, е умножен по логаритъм от х.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Например:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Производно на естествен логаритъм

Производната на функцията на естествения логаритъм е реципрочната функция.

Кога

f ( x ) = ln ( x )

Производната на f (x) е:

f ' ( x ) = 1 / x

Интеграл от естествен логаритъм

Интегралът от функцията на естествения логаритъм се дава от:

Кога

f ( x ) = ln ( x )

Интегралът на f (x) е:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln от 0

Естественият логаритъм от нула е недефиниран:

ln (0) е недефиниран

Границата близо до 0 на естествения логаритъм на x, когато x се приближава до нула, е минус безкрайност:

Ln от 1

Естественият логаритъм на единица е нула:

ln (1) = 0

Ln на безкрайност

Границата на естествения логаритъм на безкрайността, когато x се доближава до безкрайността, е равна на безкрайността:

lim ln ( x ) = ∞, когато x → ∞

Сложен логаритъм

За комплексно число z:

z = re ^iθ = x + iy

Комплексният логаритъм ще бъде (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · арктан ( y / x ))

Графика на ln (x)

ln (x) не е дефиниран за реални неположителни стойности на x:

Таблица с естествени логаритми

Правила на логаритъма ►

Вижте също

• Логаритъм (дневник)
• Калкулатор с естествен логаритъм
• Естествен логаритъм от нула
• Естествен логаритъм на едно
• Естествен логаритъм на e
• Естествен логаритъм на безкрайността
• Естествен логаритъм на отрицателно число
• Ln обратна функция
• ln (x) графика
• Таблица с естествен логаритъм
• Калкулатор на логаритъма
• e константа