Правила на логаритъма

На база б логаритъм на число е степенен показател , че трябва да се повиши база , за да се получи номера.

Определение на логаритъма

Когато b е повдигнато в степен на y е равно на x:

b y = x

Тогава основният b логаритъм на x е равен на y:

log b ( x ) = y

Например когато:

2 4 = 16

Тогава

log 2 (16) = 4

Логаритъм като обратна функция на експоненциална функция

Логаритмичната функция,

y = log b ( x )

е обратната функция на експоненциалната функция,

x = b y

Така че, ако изчислим експоненциалната функция на логаритъма на x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Или ако изчислим логаритъма на експоненциалната функция на x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Естествен логаритъм (ln)

Естественият логаритъм е логаритъм към основата e:

ln ( x ) = log e ( x )

Когато e константа е числото:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ ляво (1+ \ frac {1} {x} \ дясно) ^ x = 2.718281828459 ...

или

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ ляво (1+ \ дясно x) ^ \ frac {1} {x}

 

Вижте: Естествен логаритъм

Обратно изчисление на логаритъма

Обратният логаритъм (или анти логаритъм) се изчислява чрез издигане на основата b до логаритъма y:

x = log -1 ( y ) = b y

Логаритмична функция

Логаритмичната функция има основната форма на:

f ( x ) = log b ( x )

Правила на логаритъма

Име на правилото Правило
Правило за логаритмен продукт
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Правило за коефициент на логаритъма
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Правило за степента на логаритъма
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Правило за превключване на логаритъма
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Правило за промяна на логаритъма
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Производно на логаритъма
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Интеграл на логаритъма
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Логаритъм на отрицателното число
log b ( x ) е недефиниран, когато x ≤ 0
Логаритъм от 0
log b (0) е недефиниран
\ lim_ {x \ до 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Логаритъм от 1
log b (1) = 0
Логаритъм на основата
log b ( b ) = 1
Логаритъм на безкрайността
lim log b ( x ) = ∞, когато x → ∞

Вижте: Правила на логаритъма

 

Правило за логаритмен продукт

Логаритъмът на умножението на x и y е сумата от логаритъма на x и логаритъма на y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Например:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Правило за коефициент на логаритъма

Логаритъмът на разделението на x и y е разликата в логаритъма на x и логаритъма на y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Например:

влизане 10 (3 / 7) = влизане 10 (3) - влизане 10 (7)

Правило за степента на логаритъма

Логаритъмът на х, повдигнат до степента на у, е умножен по логаритъм от х.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Например:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Правило за превключване на логаритъма

Основният логаритъм b на c е 1, разделен на основния c логаритъм b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Например:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Правило за промяна на логаритъма

Логаритъмът на основата b на x е логаритъмът на базата на x, разделен на логаритъма на основата c на b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Например, за да изчислим дневник 2 (8) в калкулатора, трябва да променим основата на 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Вижте: правило за промяна на регистрационния файл

Логаритъм на отрицателното число

Реалният логаритъм b на x, когато x <= 0, е недефиниран, когато x е отрицателен или равен на нула:

log b ( x ) е недефиниран, когато x ≤ 0

Вижте: дневник на отрицателното число

Логаритъм от 0

Основният логаритъм b от нула е недефиниран:

log b (0) е недефиниран

Границата на основния b логаритъм от x, когато x се приближава до нула, е минус безкрайност:

\ lim_ {x \ до 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Вижте: дневник на нулата

Логаритъм от 1

Основният логаритъм b на единица е нула:

log b (1) = 0

Например базовият два логаритъма на един е нула:

log 2 (1) = 0

Вижте: дневник на един

Логаритъм на безкрайността

Границата на основния b логаритъм от x, когато x се приближава до безкрайността, е равна на безкрайността:

lim log b ( x ) = ∞, когато x → ∞

Вижте: дневник на безкрайността

Логаритъм на основата

Основният логаритъм b на b е един:

log b ( b ) = 1

Например основният два логаритъма от две е един:

log 2 (2) = 1

Производно на логаритъма

Кога

f ( x ) = log b ( x )

Тогава производната на f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Вижте: дериват на лог

Логаритъм интеграл

Интегралът на логаритъма от x:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Например:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Приближение на логаритъма

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Сложен логаритъм

За комплексно число z:

z = re = x + iy

Комплексният логаритъм ще бъде (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · арктан ( y / x ))

Задачи и отговори на логаритъма

Проблем # 1

Намерете x за

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Решение:

Използване на правилото за продукта:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Промяна на формата на логаритъма според дефиницията на логаритъма:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Или

x 2 -3 x -4 = 0

Решаване на квадратното уравнение:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Тъй като логаритъмът не е дефиниран за отрицателни числа, отговорът е:

x = 4

Проблем # 2

Намерете x за

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Решение:

Използване на частното правило:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Промяна на формата на логаритъма според дефиницията на логаритъма:

( x +2) / x = 3 2

Или

x +2 = 9 x

Или

8 x = 2

Или

x = 0,25

Графика на дневника (x)

log (x) не е дефиниран за реални неположителни стойности на x:

Таблица на логаритмите

x log 10 x log 2 x log e x
0 неопределено неопределено неопределено
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6.907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3,321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0.693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2,321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0.954243 3,169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1,698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6,643856 4.605170
200 2.301030 7,643856 5.298317
300 2.477121 8,228819 5.703782
400 2,602060 8,643856 5.991465
500 2.698970 8,965784 6.214608
600 2.778151 9,228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6,551080
800 2.903090 9,643856 6,684612
900 2.954243 9,813781 6.802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Калкулатор на логаритъма ►

 


Вижте също

АЛГЕБРА
БЪРЗИ МАСИ