लोगारिदम नियम

बेस ब लॉगेरिथमच्या अनेक आहे निपुण आम्ही वाढवण्याची गरज आहे की बेस नंबर प्राप्त करण्यासाठी.

लोगारिदम व्याख्या

जेव्हा ब च्या y च्या सामर्थ्यावर उठविले जाते x समान x आहे:

b y = x

नंतर x चा बेस बी लॉगरिथम y बरोबर असेल:

लॉग बी ( एक्स ) = वाय

उदाहरणार्थ जेव्हा:

2 4 = 16

मग

लॉग 2 (16) = 4

घातांकीय कार्याचे व्यस्त कार्य म्हणून लॉगरिथम

लॉगरिथमिक फंक्शन,

y = लॉग बी ( x )

घातांकीय कार्याचे व्यत्यय कार्य आहे,

x = बी वाय

तर जर आपण x (x/ 0) च्या लॉगरिदमच्या घातांकीय कार्याची गणना केली तर

f ( f -1 ( x )) = बी लॉग बी ( x ) = x

किंवा जर आपण एक्स च्या एक्सपोनेन्शियल फंक्शनच्या लॉगरिथमची गणना केली तर

f -1 ( f ( x )) = लॉग बी ( बी एक्स ) = x

नैसर्गिक लोगारिदम (एलएन)

नैसर्गिक लॉगरिदम हा बेस ईचा लॉगरिदम आहे:

ln ( x ) = लॉग ई ( x )

जेव्हा ई स्थिरांक क्रमांक असतो:

e = \ lim_ {x \ राइटेरो \ इन्फ्टी} \ डावीकडे (1+ \ frac {1} x x} \ उजवीकडे) ^ x = 2.718281828459 ...

किंवा

e = \ lim_ {x \ राइटरो 0} \ डावा (1+ \ उजवा x) ^ \ frac {1} {x}

 

पहा: नैसर्गिक लॉगरिदम

व्यस्त लॉगेरिदम गणना

व्युत्क्रम लॉगॅरिथम (किंवा अँटी लॉगॅरिथम) ची गणना बी लॉगरिदम y पर्यंत वाढवून केली जाते:

x = लॉग -1 ( वाय ) = बी वाय

लोगारिथमिक फंक्शन

लॉगरिथमिक फंक्शनचे मूलभूत स्वरूप आहे:

f ( x ) = लॉग बी ( x )

लोगारिदम नियम

नियम नाव नियम
लोगारिदम उत्पादन नियम
 लॉग बी ( x ∙ y ) = लॉग बी ( एक्स ) + लॉग बी ( वाय )
लोगारिदम क्वांटिएंट नियम
 लॉग बी ( x / y ) = लॉग बी ( एक्स ) - लॉग बी ( वाय )
लोगारिदम शक्ती नियम
 लॉग बी ( x y ) = y ∙ लॉग बी ( एक्स )
लोगारिदम बेस स्विच नियम
 लॉग बी ( सी ) = १ / लॉग सी ( बी )
लोगारिदम बेस बदल नियम
 लॉग बी ( एक्स ) = लॉग सी ( एक्स ) / लॉग सी ( बी )
लोगारिदमचे व्युत्पन्न
 फ ( एक्स ) = लॉग बी ( एक्स ) ⇒ फ ' ( एक्स ) = 1 / ( एक्स एलएन ( बी ))
लॉगरिदमचे अविभाज्य
 ∫ लॉग बी ( एक्स ) डीएक्स = एक्स ∙ (लॉग बी ( एक्स ) - 1 / एलएन ( बी ) ) + सी
Negativeणात्मक संख्येचा लोगारिदम
 x ≤ 0 असताना लॉग बी ( x ) ची परिभाषित केलेली नसते
0 चे लोगारिदम
 लॉग बी (0) अपरिभाषित आहे
\ lim_ {x \ ते 0 ^ +} \ मजकूर {लॉग} _ बी (एक्स) = - \ इन्फ्टी
Log चा लोगारिदम
 लॉग बी (1) = 0
बेसचा लोगारिदम
 लॉग बी ( बी ) = 1
असीमतेचा लॉगरिथम
 लिम लॉग बी ( एक्स ) = ∞, जेव्हा एक्स → ∞

पहा: लोगारिदम नियम

 

लोगारिदम उत्पादन नियम

X आणि y च्या गुणाकाराचा लॉगरिथम म्हणजे x च्या लॉगॅरिथम आणि y च्या लॉगेरिदमचे बेरीज.

लॉग बी ( x ∙ y ) = लॉग बी ( एक्स ) + लॉग बी ( वाय )

उदाहरणार्थ:

लॉग 10 (3 ∙ 7) = लॉग 10 (3) + लॉग 10 (7)

लोगारिदम क्वांटिएंट नियम

X आणि y च्या भागाचे लोगारिदम हे x च्या लॉगॅरिथम आणि y च्या लोगारिदममधील फरक आहे.

लॉग बी ( x / y ) = लॉग बी ( एक्स ) - लॉग बी ( वाय )

उदाहरणार्थ:

लॉग इन 10 (3 / 7) = लॉग इन 10 (3) - लॉग इन 10 (7)

लोगारिदम शक्ती नियम

Y च्या सामर्थ्यापर्यंत वाढविलेला x चा लॉगॅरिथम x च्या लॉगॅरिथमच्या y पट आहे.

लॉग बी ( x y ) = y ∙ लॉग बी ( एक्स )

उदाहरणार्थ:

लॉग 10 (2 8 ) = 8 ∙ लॉग 10 (2)

लोगारिदम बेस स्विच नियम

C चे बेस बी लॉगरिदम 1 हे b च्या बेस सी लोगारिदम द्वारे विभाजित आहे.

लॉग बी ( सी ) = १ / लॉग सी ( बी )

उदाहरणार्थ:

लॉग 2 (8) = 1 / लॉग 8 (2)

लोगारिदम बेस बदल नियम

X चा बेस बी लॉगरिदम म्हणजे x च्या बेस सी लोगारिदमला बी च्या बेस सी लॉगरिदम द्वारे विभक्त केले.

लॉग बी ( एक्स ) = लॉग सी ( एक्स ) / लॉग सी ( बी )

उदाहरणार्थ, कॅल्क्युलेटरमध्ये लॉग 2 (8) मोजण्यासाठी, बेस 10 मध्ये बदलणे आवश्यक आहे:

लॉग 2 (8) = लॉग 10 (8) / लॉग 10 (2)

पहा: लॉग बेस बदल नियम

Negativeणात्मक संख्येचा लोगारिदम

X <= 0 0 जेव्हा x inedणात्मक असेल किंवा शून्याइतका असेल तेव्हा x चे बेस लॉगरिथ्म x

x ≤ 0 असताना लॉग बी ( x ) ची परिभाषित केलेली नसते

पहा: नकारात्मक संख्या लॉग

0 चे लोगारिदम

शून्याचा बेस बी लोगारिदम अपरिभाषित आहे:

लॉग बी (0) अपरिभाषित आहे

X शून्याकडे गेल्यावर x च्या बेस ब लोगारिदमची मर्यादा वजा अनंत असतेः

\ lim_ {x \ ते 0 ^ +} \ मजकूर {लॉग} _ बी (एक्स) = - \ इन्फ्टी

पहा: शून्य लॉग

Log चा लोगारिदम

एकाचा बेस बी लॉगरिदम शून्य आहे:

लॉग बी (1) = 0

उदाहरणार्थ, तेह बेस दोन लॉगरिदम एकाचे शून्य आहे:

लॉग 2 (1) = 0

पहा: एकाचा लॉग

असीमतेचा लॉगरिथम

X च्या बेस बी लोगारिदमची मर्यादा, जेव्हा एक्स अनंत जवळ येते तेव्हा अनंताइतकीच असते:

लिम लॉग बी ( एक्स ) = ∞, जेव्हा एक्स → ∞

पहा: अनंत लॉग

बेसचा लोगारिदम

B चा बेस बी लॉगरिदम एक आहे:

लॉग बी ( बी ) = 1

उदाहरणार्थ, दोनचा बेस दोन लघुगणक एक आहे:

लॉग 2 (2) = 1

लोगारिदम व्युत्पन्न

कधी

f ( x ) = लॉग बी ( x )

मग f (x) चे व्युत्पन्नः

f ' ( x ) = 1 / ( x एलएन ( बी ))

पहा: लॉग व्युत्पन्न

लोगारिदम अविभाज्य

X च्या लॉगॅरिथमचे अविभाज्य:

∫ लॉग बी ( एक्स ) डीएक्स = एक्स ∙ (लॉग बी ( एक्स ) - 1 / एलएन ( बी ) ) + सी

उदाहरणार्थ:

∫ लॉग 2 ( x ) डीएक्स = एक्स ∙ (लॉग 2 ( एक्स ) - 1 / एलएन (2) ) + सी

लोगारिदम अंदाजे

लॉग 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 एन - 1),

कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम

जटिल संख्या z साठी:

z = रे iθ = x + iy

गुंतागुंतीचा लघुगणक (एन = ...- 2, -1,0,1,2, ...) असेल:

लॉग z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · आर्क्टन ( y / x ))

लोगारिदम समस्या आणि उत्तरे

समस्या # 1

साठी x शोधा

लॉग 2 ( x ) + लॉग 2 ( x -3) = 2

उपाय:

उत्पादन नियम वापरणे:

लॉग 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

लोगारिदमच्या परिभाषानुसार लॉगरिदम फॉर्म बदलणे:

x ∙ ( x -3) = 2 2

किंवा

x 2 -3 x -4 = 0

चतुर्भुज समीकरण सोडवणे:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

नकारात्मक संख्येसाठी लॉगरिदम परिभाषित केलेले नसल्यामुळे, उत्तर असे आहे:

x = 4

समस्या # 2

साठी x शोधा

लॉग 3 ( x +2) - लॉग 3 ( x ) = 2

उपाय:

भागाचा नियम वापरणे:

लॉग 3 (( x +2) / x ) = 2

लोगारिदमच्या परिभाषानुसार लॉगरिदम फॉर्म बदलणे:

( x +2) / x = 3 2

किंवा

x +2 = 9 x

किंवा

8 x = 2

किंवा

x = 0.25

लॉगचा आलेख (x)

x च्या वास्तविक अ-सकारात्मक मूल्यांसाठी लॉग (एक्स) परिभाषित केलेले नाही:

लोगारिदम सारणी

x लॉग 10 x लॉग 2 एक्स लॉग ई एक्स
0 अपरिभाषित अपरिभाषित अपरिभाषित
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 | 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 | 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 | 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

लोगारिदम कॅल्क्युलेटर ►

 

हे देखील पहा

अल्जीब्रा
वेगवान सारण्या