自然對數-ln（x）
自然對數是數字以e為底的對數。
自然對數的定義
什麼時候
Ë ÿ = X
則x的底e對數為
ln（x）=對數e（x）= y
該Ë常數或歐拉數為：
Ë ≈2.71828183
Ln是指數函數的反函數
自然對數函數ln（x）是指數函數e x的反函數。
對於x/ 0，
f（f -1（x））= e ln（x） = x
或
f -1（f（x））= ln（e x）= x
自然對數規則和屬性
| 規則名稱 | 規則 | 例 |
|---|---|---|
產品規則 |
ln（x∙y）= ln（x）+ ln（y） |
ln（3 ∙ 7）= ln（3）+ ln（7） |
商法則 |
LN（X / Y）= LN（X）- LN（Ý） |
LN（3 / 7）= LN（3）- LN（7） |
功率規則 |
ln（x y）= y∙ ln（x） |
ln（2 8）= 8 ∙ ln（2） |
ln衍生物 |
f（x）= ln（x） ⇒f '（x）= 1 / x | |
ln積分 |
∫ln （x）dx = x∙（ln（x）-1）+ C | |
負數ln |
LN（X）是未定義當 X ≤0 | |
ln為零 |
ln（0）未定義 | |
 |
||
ln一 |
ln（1）= 0 | |
無限大 |
lim ln（x）=∞，當x →∞ | |
| 歐拉的身份 | LN（-1）=我π |
對數乘積規則
x和y的對數是x和y的對數之和。
log b（x∙y）= log b（x）+ log b（y）
例如：
日誌10（3 ∙ 7）=日誌10（3）+日誌10（7）
對數商法則
x和y的對數是x和y的對數之差。
日誌b（X / Y）=日誌b（X）-日誌b（Ý）
例如：
日誌10（3 / 7）=日誌10（3）-日誌10（7）
對數冪規則
x的對數提高到y的冪是y乘以x的對數。
log b（x y）= y∙ log b（x）
例如：
日誌10（2 8）= 8 ∙日誌10（2）
自然對數的導數
自然對數函數的導數是倒數函數。
什麼時候
f（x）= ln（x）
f（x）的導數為：
f'（x）= 1 / x
自然對數的積分
自然對數函數的積分由下式給出：
什麼時候
f（x）= ln（x）
f（x）的積分是：
∫ ˚F（X）DX =∫ LN（X）DX = X∙（LN（X） - 1）+ C ^
Ln為0
零的自然對數未定義：
ln（0）未定義
x接近零時，x的自然對數的接近於0的極限為負無窮大：
1的Ln
1的自然對數為零：
ln（1）= 0
無窮大
當x接近無窮大時，無窮大自然對數的極限等於無窮大：
當x →∞時lim ln（x）= ∞
複數對數
對於復數z：
z = reiθ = x + iy
複數對數為（n = ...- 2，-1,0,1,2，...）：
對數z = ln（r）+ i（θ+2nπ）= ln（√（x 2 + y 2））+ i ·arctan（y / x））
ln（x）的圖
沒有為x的實非正值定義ln（x）：
自然對數表
| x | ln x |
|---|---|
| 0 | 未定義 |
| 0 + | -∞ |
| 0.0001 | -9.210340 |
| 0.001 | -6.907755 |
| 0.01 | -4.605170 |
| 0.1 | -2.302585 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0.693147 |
| Ë ≈2.7183 | 1 |
| 3 | 1.098612 |
| 4 | 1.386294 |
| 5 | 1.609438 |
| 6 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3.401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3.912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6.551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |