自然對數-ln(x)

自然對數是數字以e為底的對數。

自然對數的定義

什麼時候

Ë ÿ = X

則x的底e對數為

ln(x)=對數ex= y

 

Ë常數或歐拉數為:

Ë ≈2.71828183

Ln是指數函數的反函數

自然對數函數ln(x)是指數函數e x的反函數。

對於x/ 0,

ff -1x))= e ln(x = x

f -1fx))= ln(e x)= x

自然對數規則和屬性

規則名稱 規則
產品規則

ln(x∙y)= ln(x+ ln(y

ln(3 7)= ln(3)+ ln(7)

商法則

LN(X / Y)= LN(X- LN(Ý

LN(3 / 7)= LN(3)- LN(7)

功率規則

ln(x y)= y∙ ln(x

ln(2 8)= 8 ln(2)

ln衍生物
fx)= ln(x ⇒f 'x)= 1 / x  
ln積分
∫ln xdx = x∙(ln(x)-1)+ C  
負數ln
LN(X是未定義當 X ≤0  
ln為零
ln(0)未定義  
 
ln一
ln(1)= 0  
無限大
lim ln(x)=∞,x →∞  
歐拉的身份 LN(-1)=π  

 

對數乘積規則

x和y的對數是x和y的對數之和。

log bx∙y)= log bx+ log by

例如:

日誌10(3 7)=日誌10(3)+日誌10(7)

對數商法則

x和y的對數是x和y的對數之差。

日誌bX / Y)=日誌bX-日誌bÝ

例如:

日誌10(3 / 7)=日誌10(3)-日誌10(7)

對數冪規則

x的對數提高到y的冪是y乘以x的對數。

log bx y)= y∙ log bx

例如:

日誌10(2 8)= 8 日誌10(2)

自然對數的導數

自然對數函數的導數是倒數函數。

什麼時候

fx)= ln(x

f(x)的導數為:

f'x)= 1 / x

自然對數的積分

自然對數函數的積分由下式給出:

什麼時候

fx)= ln(x

f(x)的積分是:

˚FXDX =∫ LN(XDX = X∙(LN(X) - 1)+ C ^

Ln為0

零的自然對數未定義:

ln(0)未定義

x接近零時,x的自然對數的接近於0的極限為負無窮大:

1的Ln

1的自然對數為零:

ln(1)= 0

無窮大

當x接近無窮大時,無窮大自然對數的極限等於無窮大:

x →∞lim ln(x)= ∞

複數對數

對於復數z:

z = reiθ = x + iy

複數對數為(n = ...- 2,-1,0,1,2,...):

對數z = ln(r)+ iθ+2nπ= ln(√(x 2 + y 2))+ i ·arctan(y / x))

ln(x)的圖

沒有為x的實非正值定義ln(x):

自然對數表

x ln x
0 未定義
0 + -∞
0.0001 -9.210340
0.001 -6.907755
0.01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0.693147
Ë ≈2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

對數規則►

 


也可以看看

代數
快速表格