Přirozený logaritmus - ln (x)

Přirozený logaritmus je logaritmus základny e čísla.

• Definice přirozeného logaritmu (ln)
• Pravidla a vlastnosti přirozeného logaritmu (ln)
  • Derivace přirozeného logaritmu (ln)
  • Integrace přirozeného logaritmu (ln)
• Složitý logaritmus
• Graf ln (x)
• Tabulka přirozených logaritmů (ln)
• Kalkulačka přirozeného logaritmu

Definice přirozeného logaritmu

Když

e ^y = x

Pak je základní e logaritmus x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Konstanta e nebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln jako inverzní funkce exponenciální funkce

Přirozená logaritmická funkce ln (x) je inverzní funkcí exponenciální funkce e ^x .

Pro x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Nebo

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravidla a vlastnosti přirozeného logaritmu

Název pravidla	Pravidlo	Příklad
Pravidlo produktu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravidlo kvocientu	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravidlo moci	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
Derivát	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
V integrálu	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
Záporné číslo	ln ( x ) není definováno, když x ≤ 0
nula nula	ln (0) není definováno
V jednom	ln (1) = 0
V nekonečnu	lim ln ( x ) = ∞, když x → ∞
Eulerova identita	ln (-1) = i π

Logaritmické pravidlo produktu

Logaritmus násobení x a y je součtem logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Například:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdělení x a y je rozdíl logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Například:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmické pravidlo síly

Logaritmus x zvýšený na sílu y je y krát logaritmus x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Například:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Derivace přirozeného logaritmu

Derivátem přirozené logaritmické funkce je reciproční funkce.

Když

f ( x ) = ln ( x )

Derivát f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrál přirozeného logaritmu

Integrál přirozené logaritmické funkce je dán vztahem:

Když

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0

Přirozený logaritmus nuly není definován:

ln (0) není definováno

Limita blízká 0 přirozeného logaritmu x, když se x blíží nule, je minus nekonečno:

Ln z 1

Přirozený logaritmus jedničky je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Mez přirozeného logaritmu nekonečna, když se x blíží nekonečnu, se rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, když x → ∞

Složitý logaritmus

Pro komplexní číslo z:

z = re ^iθ = x + iy

Komplexní logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) není definováno pro skutečné ne kladné hodnoty x:

Tabulka přirozených logaritmů

Pravidla logaritmu ►

Viz také

• Logaritmus (log)
• Kalkulačka přirozeného logaritmu
• Přirozený nulový logaritmus
• Přirozený logaritmus jednoho
• Přirozený logaritmus e
• Přirozený logaritmus nekonečna
• Přirozený logaritmus záporného čísla
• Inverzní funkce Ln
• ln (x) graf
• Tabulka přirozeného logaritmu
• Logaritmická kalkulačka
• e konstantní