Naturlig logaritme - ln (x)

Naturlig logaritme er logaritmen til basis e af et tal.

• Definition af naturlig logaritme (ln)
• Naturlige logaritme (ln) regler og egenskaber
  • Afledt af naturlig logaritme (ln)
  • Integral af naturlig logaritme (ln)
• Kompleks logaritme
• Graf af ln (x)
• Naturlige logaritmer (ln) tabel
• Naturlig logaritm-regnemaskine

Definition af naturlig logaritme

Hvornår

e ^y = x

Derefter baseres e-logaritmen på x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Den e konstant eller Eulers tal er:

e ≈ 2.71828183

Ln som invers funktion af eksponentiel funktion

Den naturlige logaritmefunktion ln (x) er den inverse funktion af den eksponentielle funktion e ^x .

For x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Eller

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Naturlige logaritmeregler og egenskaber

Regelnavn	Herske	Eksempel
Produktregel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Kvotientregel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Magtregel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
I afledt	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
integreret	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
I negativt tal	ln ( x ) er udefineret, når x ≤ 0
I nul	ln (0) er udefineret
I én	ln (1) = 0
af uendelig	lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞
Eulers identitet	ln (-1) = i π

Logaritmeproduktregel

Logaritmen for multiplikationen af ​​x og y er summen af ​​logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

For eksempel:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen for divisionen af ​​x og y er forskellen mellem logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

For eksempel:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Regel om logaritmekraft

Logaritmen for x hævet til y-kraften er y gange logaritmen for x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

For eksempel:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Afledt af naturlig logaritme

Den afledte af den naturlige logaritmefunktion er den gensidige funktion.

Hvornår

f ( x ) = ln ( x )

Derivatet af f (x) er:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral af naturlig logaritme

Integralet af den naturlige logaritmefunktion er givet af:

Hvornår

f ( x ) = ln ( x )

Integralet af f (x) er:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln på 0

Den naturlige logaritme på nul er udefineret:

ln (0) er udefineret

Grænsen nær 0 af den naturlige logaritme af x, når x nærmer sig nul, er minus uendelig:

Ln af 1

Den naturlige logaritme for en er nul:

ln (1) = 0

Ln af uendelig

Grænsen for uendelig naturlig logaritme, når x nærmer sig uendelighed, er lig med uendelig:

lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞

Kompleks logaritme

For kompleks nummer z:

z = re ^iθ = x + iy

Den komplekse logaritme vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graf af ln (x)

ln (x) er ikke defineret for reelle ikke positive værdier på x:

Naturlig logaritmisk tabel

Regler for logaritme ►

Se også

• Logaritme (log)
• Naturlig logaritm-regnemaskine
• Naturlig logaritme på nul
• Naturlig logaritme af en
• Naturlig logaritme af e
• Uendelig naturlig logaritme
• Naturlig logaritme med negativt tal
• Ln invers funktion
• ln (x) graf
• Naturlig logaritmebord
• Logaritme regnemaskine
• e konstant