Logaritmeregler
Den basen B logaritmen af et tal er den eksponent , at vi har brug for at hæve bunden for at få nummeret.
- Logaritmedefinition
- Logaritme regler
- Logaritmeproblemer
- Kompleks logaritme
- Graf af log (x)
- Logaritmetabel
- Logaritme regnemaskine
Logaritmedefinition
Når b hæves til kraften af y er lig x:
b y = x
Derefter er basis b logaritmen af x lig med y:
log b ( x ) = y
For eksempel når:
2 4 = 16
Derefter
log 2 (16) = 4
Logaritme som invers funktion af eksponentiel funktion
Den logaritmiske funktion,
y = log b ( x )
er den omvendte funktion af den eksponentielle funktion,
x = b y
Så hvis vi beregner den eksponentielle funktion af logaritmen af x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Eller hvis vi beregner logaritmen for den eksponentielle funktion af x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Naturlig logaritme (ln)
Naturlig logaritme er en logaritme til basen e:
ln ( x ) = log e ( x )
Når e konstant er antallet:
eller
Omvendt logaritmeberegning
Den omvendte logaritme (eller anti-logaritme) beregnes ved at hæve basen b til logaritmen y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritmisk funktion
Den logaritmiske funktion har den grundlæggende form for:
f ( x ) = log b ( x )
Logaritme regler
| Regelnavn | Herske |
|---|---|
Logaritmeproduktregel |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logaritmekvotientregel |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Regel om logaritmekraft |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritme base switch regel |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Regel om ændring af logaritmebase |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Afledt af logaritme |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Integral af logaritme |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritme med negativt tal |
log b ( x ) er udefineret, når x ≤ 0 |
Logaritme på 0 |
log b (0) er udefineret |
 |
|
Logaritme på 1 |
log b (1) = 0 |
Logaritme af basen |
log b ( b ) = 1 |
Uendelighedens logaritme |
lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞ |
Se: Logaritmeregler
Logaritmeproduktregel
Logaritmen for multiplikationen af x og y er summen af logaritmen af x og logaritmen af y.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
For eksempel:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Logaritmekvotientregel
Logaritmen for divisionen af x og y er forskellen mellem logaritmen af x og logaritmen af y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
For eksempel:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Regel om logaritmekraft
Logaritmen for x hævet til y-kraften er y gange logaritmen for x.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
For eksempel:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Logaritme base switch regel
Basen b logaritme af c er 1 divideret med basen c logaritmen af b.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
For eksempel:
log 2 (8) = 1 / log 8 (2)
Regel om ændring af logaritmebase
Basen b logaritme af x er base c logaritme af x divideret med basen c logaritmen af b.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
For eksempel skal vi for at beregne log 2 (8) i lommeregner ændre basen til 10:
log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)
Se: regel til ændring af logbase
Logaritme med negativt tal
Basen b ægte logaritme på x, når x <= 0 er udefineret, når x er negativ eller lig med nul:
log b ( x ) er udefineret, når x ≤ 0
Logaritme på 0
Basis b-logaritmen på nul er udefineret:
log b (0) er udefineret
Grænsen for base b-logaritmen på x, når x nærmer sig nul, er minus uendelig:
Se: log af nul
Logaritme på 1
Basis b logaritmen for en er nul:
log b (1) = 0
For eksempel er base to logaritme af en nul:
log 2 (1) = 0
Se: log af en
Uendelighedens logaritme
Grænsen for basen b logaritme af x, når x nærmer sig uendelig, er lig med uendelig:
lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞
Se: uendelig log
Logaritme af basen
Basen b logaritme af b er en:
log b ( b ) = 1
For eksempel er de to basale logaritmer af to en:
log 2 (2) = 1
Logaritmederivat
Hvornår
f ( x ) = log b ( x )
Derefter afledte af f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Se: logderivat
Logaritme integreret
Integralet af logaritme af x:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
For eksempel:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Logaritme tilnærmelse
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Kompleks logaritme
For kompleks nummer z:
z = re iθ = x + iy
Den komplekse logaritme vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Logaritmeproblemer og svar
Problem nr. 1
Find x til
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Løsning:
Brug af produktreglen:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Ændring af logaritmeformularen i henhold til logaritmedefinitionen:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Eller
x 2 -3 x -4 = 0
Løsning af den kvadratiske ligning:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Da logaritmen ikke er defineret for negative tal, er svaret:
x = 4
Problem nr.2
Find x til
log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2
Løsning:
Brug af kvotientreglen:
log 3 (( x +2) / x ) = 2
Ændring af logaritmeformularen i henhold til logaritmedefinitionen:
( x +2) / x = 3 2
Eller
x +2 = 9 x
Eller
8 x = 2
Eller
x = 0,25
Graf af log (x)
log (x) er ikke defineret for reelle ikke positive værdier på x:
Logaritmisk tabel
| x | log 10 x | log 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | udefineret | udefineret | udefineret |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13,287712 | -9.210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
| 0,1 | -1 | -3.321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1.791759 |
| 7 | 0,845098 | 2.807355 | 1,945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1,602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5,643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1,845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1,903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6,643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7,643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9,643856 | 6,684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Se også
- Logaritme regler
- Logaritmeskift af base
- Logaritme på nul
- Logaritme af en
- Uendelighedens logaritme
- Logaritme med negativt tal
- Logaritme regnemaskine
- Logaritmediagram
- Logaritmetabel
- Naturlig logaritm-regnemaskine
- Naturlig logaritme - ln x
- e konstant
- Decibel (dB)