Φυσικός λογάριθμος - ln (x)

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος στη βάση e ενός αριθμού.

• Ορισμός φυσικού λογάριθμου (ln)
• Κανόνες και ιδιότητες φυσικού λογάριθμου (ln)
  • Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου (ln)
  • Ολοκληρωμένο φυσικό λογάριθμο (ln)
• Πολύπλοκος λογάριθμος
• Γράφημα του ln (x)
• Πίνακας φυσικών λογαρίθμων (ln)
• Υπολογιστής φυσικού λογάριθμου

Ορισμός του φυσικού λογάριθμου

Πότε

e ^y = x

Στη συνέχεια, ο βασικός λογάριθμος του x είναι

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Η σταθερά e ή ο αριθμός Euler είναι:

ε ≈ 2.71828183

Ln ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης

Η φυσική συνάρτηση λογάριθμου ln (x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης e ^x .

Για x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Ή

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Κανόνες και ιδιότητες φυσικού λογάριθμου

Όνομα κανόνα	Κανόνας	Παράδειγμα
Κανόνας προϊόντος	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Ποσοτικός κανόνας	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Κανόνας ισχύος	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
Παράγωγο	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Αναπόσπαστο	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
αρνητικό αριθμό	Το ln ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0
Στο μηδέν	Το ln (0) είναι απροσδιόριστο
σε ένα	ln (1) = 0
Στο άπειρο	lim ln ( x ) = ∞, όταν x → ∞
Η ταυτότητα του Euler	ln (-1) = i π

Κανόνας προϊόντος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Για παράδειγμα:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Κανόνας πηλίκου λογαρίθμου

Ο λογάριθμος της διαίρεσης των x και y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Για παράδειγμα:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Κανόνας ισχύος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του x που αυξάνεται στη δύναμη του y είναι y φορές ο λογάριθμος του x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Για παράδειγμα:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

Το παράγωγο της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου είναι η αμοιβαία συνάρτηση.

Πότε

f ( x ) = ln ( x )

Το παράγωγο του f (x) είναι:

f ' ( x ) = 1 / x

Ολοκληρωμένο φυσικό λογάριθμο

Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου δίνεται από:

Πότε

f ( x ) = ln ( x )

Το ολοκλήρωμα του f (x) είναι:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln από 0

Ο φυσικός λογάριθμος του μηδέν είναι απροσδιόριστος:

Το ln (0) είναι απροσδιόριστο

Το όριο κοντά στο 0 του φυσικού λογάριθμου του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον άπειρο:

Ln από 1

Ο φυσικός λογάριθμος ενός είναι μηδέν:

ln (1) = 0

Το άπειρο

Το όριο του φυσικού λογάριθμου του άπειρου, όταν το x πλησιάζει το άπειρο είναι ίσο με το άπειρο:

lim ln ( x ) = ∞, όταν x → ∞

Πολύπλοκος λογάριθμος

Για τον σύνθετο αριθμό z:

z = re ^iθ = x + iy

Ο σύνθετος λογάριθμος θα είναι (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Γράφημα του ln (x)

Το ln (x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:

Πίνακας φυσικών λογαρίθμων

Κανόνες λογάριθμου ►

Δείτε επίσης

• Λογάριθμος (ημερολόγιο)
• Υπολογιστής φυσικού λογάριθμου
• Φυσικός λογάριθμος μηδέν
• Φυσικός λογάριθμος ενός
• Φυσικός λογάριθμος του e
• Φυσικός λογάριθμος του απείρου
• Φυσικός λογάριθμος αρνητικού αριθμού
• Ln αντίστροφη συνάρτηση
• ln (x) γράφημα
• Πίνακας φυσικού λογάριθμου
• Αριθμομηχανή λογάριθμου
• ε σταθερά