Κανόνες λογάριθμου
Ο λογάριθμος βάσης b ενός αριθμού είναι ο εκθέτης που πρέπει να αυξήσουμε τη βάση για να λάβουμε τον αριθμό.
- Ορισμός λογάριθμου
- Κανόνες λογάριθμου
- Προβλήματα λογάριθμου
- Πολύπλοκος λογάριθμος
- Γράφημα καταγραφής (x)
- Πίνακας λογάριθμου
- Αριθμομηχανή λογάριθμου
Ορισμός λογάριθμου
Όταν το b ανυψώνεται στην ισχύ του y είναι ίσο x:
β y = x
Τότε ο βασικός λογάριθμος του x είναι ίσος με y:
log b ( x ) = y
Για παράδειγμα όταν:
2 4 = 16
Τότε
log 2 (16) = 4
Ο λογάριθμος ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης
Η λογαριθμική συνάρτηση,
y = log b ( x )
είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης,
x = β γ
Αν λοιπόν υπολογίσουμε την εκθετική συνάρτηση του λογάριθμου του x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Ή αν υπολογίσουμε τον λογάριθμο της εκθετικής συνάρτησης του x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Φυσικός λογάριθμος (ln)
Ο φυσικός λογάριθμος είναι ένας λογάριθμος στη βάση e:
ln ( x ) = log e ( x )
Όταν η σταθερά e είναι ο αριθμός:
ή
Βλέπε: Φυσικός λογάριθμος
Υπολογισμός αντίστροφου λογάριθμου
Ο αντίστροφος λογάριθμος (ή αντι λογάριθμος) υπολογίζεται αυξάνοντας τη βάση b στον λογάριθμο y:
x = log -1 ( y ) = b y
Λογαριθμική συνάρτηση
Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη βασική μορφή:
f ( x ) = log b ( x )
Κανόνες λογάριθμου
| Όνομα κανόνα | Κανόνας |
|---|---|
Κανόνας προϊόντος λογάριθμου |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Κανόνας πηλίκου λογαρίθμου |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Κανόνας ισχύος λογάριθμου |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Κανόνας διακόπτη βάσης λογάριθμου |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Κανόνας αλλαγής βάσης λογάριθμου |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Παράγωγο του λογάριθμου |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Ολοκληρωμένο λογάριθμο |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Λογόριθμος αρνητικού αριθμού |
Το log b ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0 |
Λογόριθμος 0 |
Το log b (0) είναι απροσδιόριστο |
 |
|
Λογόριθμος του 1 |
log b (1) = 0 |
Λογόριθμος της βάσης |
log b ( b ) = 1 |
Λογάριθμος του απείρου |
lim log b ( x ) = ∞, όταν x → ∞ |
Δείτε: Κανόνες λογάριθμου
Κανόνας προϊόντος λογάριθμου
Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Για παράδειγμα:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Κανόνας πηλίκου λογαρίθμου
Ο λογάριθμος της διαίρεσης των x και y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Για παράδειγμα:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Κανόνας ισχύος λογάριθμου
Ο λογάριθμος του x που αυξάνεται στη δύναμη του y είναι y φορές ο λογάριθμος του x.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Για παράδειγμα:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Κανόνας διακόπτη βάσης λογάριθμου
Ο λογάριθμος βάσης b του c διαιρείται με τον λογάριθμο βάσης c του b.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Για παράδειγμα:
log 2 (8) = 1 / log 8 (2)
Κανόνας αλλαγής βάσης λογάριθμου
Ο λογάριθμος βάσης b του x είναι λογάριθμος βάσης c του x διαιρούμενος με τον λογάριθμο βάσης c του b.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του log 2 (8) στον υπολογιστή, πρέπει να αλλάξουμε τη βάση σε 10:
log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)
Βλέπε: κανόνας αλλαγής βάσης καταγραφής
Λογόριθμος αρνητικού αριθμού
Ο πραγματικός λογάριθμος βάσης b του x όταν x <= 0 δεν καθορίζεται όταν το x είναι αρνητικό ή ίσο με μηδέν:
Το log b ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0
Βλέπε: ημερολόγιο αρνητικού αριθμού
Λογόριθμος 0
Ο λογάριθμος βάσης b του μηδέν δεν είναι καθορισμένος:
Το log b (0) είναι απροσδιόριστο
Το όριο του λογαρίθμου βάσης b του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον άπειρο:
Βλέπε: log of zero
Λογόριθμος του 1
Ο λογάριθμος βάσης b είναι μηδέν:
log b (1) = 0
Για παράδειγμα, η βάση δύο λογάριθμος του ενός είναι μηδέν:
log 2 (1) = 0
Δείτε: ημερολόγιο ενός
Λογάριθμος του απείρου
Το όριο του λογαρίθμου βάσης b του x, όταν το x πλησιάζει το άπειρο, είναι ίσο με το άπειρο:
lim log b ( x ) = ∞, όταν x → ∞
Δείτε: αρχείο καταγραφής του απείρου
Λογόριθμος της βάσης
Ο βασικός λογάριθμος του b είναι ένας:
log b ( b ) = 1
Για παράδειγμα, ο βασικός λογάριθμος δύο είναι ένας:
log 2 (2) = 1
Παράγωγο λογάριθμου
Πότε
f ( x ) = log b ( x )
Στη συνέχεια, το παράγωγο του f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Βλέπε: παράγωγο καταγραφής
Αναπόσπαστο λογάριθμο
Το ολοκλήρωμα του λογάριθμου του x:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Για παράδειγμα:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Προσέγγιση λογάριθμου
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Πολύπλοκος λογάριθμος
Για τον σύνθετο αριθμό z:
z = re iθ = x + iy
Ο σύνθετος λογάριθμος θα είναι (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Προβλήματα και απαντήσεις λογάριθμου
Πρόβλημα # 1
Βρείτε x για
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Λύση:
Χρήση του κανόνα προϊόντος:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Αλλαγή της φόρμας λογάριθμου σύμφωνα με τον ορισμό του λογάριθμου:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Ή
x 2 -3 x -4 = 0
Επίλυση της τετραγωνικής εξίσωσης:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Δεδομένου ότι ο λογάριθμος δεν ορίζεται για αρνητικούς αριθμούς, η απάντηση είναι:
x = 4
Πρόβλημα # 2
Βρείτε x για
log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα πηλίκου:
log 3 (( x +2) / x ) = 2
Αλλαγή της φόρμας λογάριθμου σύμφωνα με τον ορισμό του λογάριθμου:
( x +2) / x = 3 2
Ή
x +2 = 9 x
Ή
8 x = 2
Ή
x = 0,25
Γράφημα καταγραφής (x)
Το log (x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:
Πίνακας λογαρίθμων
| x | log 10 x | log 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | απροσδιόριστος | απροσδιόριστος | απροσδιόριστος |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0,001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
| 0,01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.301030 | 1 | 0,669147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0.602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0,845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Δείτε επίσης
- Κανόνες λογάριθμου
- Μεταβολή βάσης λογάριθμου
- Λογόριθμος μηδέν
- Λογόριθμος ενός
- Λογάριθμος του απείρου
- Λογόριθμος αρνητικού αριθμού
- Αριθμομηχανή λογάριθμου
- Γράφημα λογάριθμου
- Πίνακας λογάριθμου
- Υπολογιστής φυσικού λογάριθμου
- Φυσικός λογάριθμος - ln x
- ε σταθερά
- Ντεσιμπέλ (dB)