Looduslik logaritm - ln (x)

Looduslik logaritm on arvu aluse e logaritm.

Loodusliku logaritmi määratlus

Millal

e y = x

Siis põhineb x-i logaritm

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

E pidev või Euleri arv on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina

Loodusliku logaritmi funktsioon ln (x) on eksponentsiaalfunktsiooni e x pöördfunktsioon .

Kui x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Või

f- 1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Loodusliku logaritmi reeglid ja omadused

Reegli nimi Reegel Näide
Toote reegel

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 7) = ln (3) + ln (7)

Quotient reegel

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)

Võimu reegel

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ln (2)

tuletis
f ( x ) = ln ( x ) f ' ( x ) = 1 / x  
lahutamatu
ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
Negatiivse arvu ln
ln ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0  
ln nullist
ln (0) pole määratletud  
 
Ühest
ln (1) = 0  
ln lõpmatus
lim ln ( x ) = ∞, kui x → ∞  
Euleri identiteet ln (-1) = i π  

 

Logaritmi toote reegel

X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Näiteks:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmi jagatisreegel

X ja y jagunemise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Näiteks:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmi võimsuse reegel

Y-i astmele tõstetud x-i logaritm on y-kordne x-i logaritm.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Näiteks:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Loodusliku logaritmi tuletis

Loodusliku logaritmi funktsiooni tuletis on vastastikune funktsioon.

Millal

f ( x ) = ln ( x )

F (x) tuletis on:

f ' ( x ) = 1 / x

Loodusliku logaritmi lahutamatu osa

Loodusliku logaritmi funktsiooni integraali annab:

Millal

f ( x ) = ln ( x )

F (x) integraal on:

f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0-st

Nulli loomulik logaritm pole määratletud:

ln (0) pole määratletud

Kui x läheneb nullile, on naturaalse logaritmi 0 lähedal olev piir, kui x läheneb nullile, miinus lõpmatus:

Ln 1-st

Ühe looduslik logaritm on null:

ln (1) = 0

Ln lõpmatus

Lõpmatuse loodusliku logaritmi piir, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:

lim ln ( x ) = ∞, kui x → ∞

Kompleksne logaritm

Kompleksarvu z korral:

z = re = x + iy

Kompleksne logaritm on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logi z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktaan ( y / x ))

Graafik ln (x)

ln (x) ei ole määratletud x tegelike mitte-positiivsete väärtuste korral:

Looduslike logaritmide tabel

x ln x
0 määratlemata
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4,605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1,791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Logaritmi reeglid ►

 


Vaata ka

ALGEBRA
KIIRED TABELID