Luonnollinen logaritmi - ln (x)

Luonnollinen logaritmi on numeron perustan e logaritmi.

Määritelmä luonnollinen logaritmi

Kun

e y = x

Sitten x: n e-logaritmi on

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

E vakio tai Eulerin luku on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponenttifunktion käänteisfunktiona

Luonnollisen logaritmin funktio ln (x) on käänteisfunktio eksponenttifunktio e x .

Jos x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Tai

f- 1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Luonnollisen logaritmin säännöt ja ominaisuudet

Säännön nimi Sääntö Esimerkki
Tuotesääntö

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 7) = ln (3) + ln (7)

Quotient-sääntö

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)

Tehosääntö

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ln (2)

johdannainen
f ( x ) = ln ( x ) f ' ( x ) = 1 / x  
olennainen osa
ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln negatiivista lukua
ln ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0  
ln nolla
ln (0) on määrittelemätön  
 
Yksi niistä
ln (1) = 0  
Loputon
lim ln ( x ) = ∞, kun x → ∞  
Eulerin henkilöllisyys ln (-1) = i π  

 

Logaritmin tuotesääntö

X: n ja y: n kertologaritmi on x: n ja y: n logaritmin summa.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Esimerkiksi:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmin osamääräsääntö

X: n ja y: n jakauman logaritmi on x: n ja y: n logaritmin ero.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Esimerkiksi:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmin tehosääntö

Y: n voimaksi korotetun x: n logaritmi on y kertaa x: n logaritmi.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Esimerkiksi:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Luonnollisen logaritmin johdannainen

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatti on vastavuoroinen funktio.

Kun

f ( x ) = ln ( x )

F (x): n johdannainen on:

f ' ( x ) = 1 / x

Luonnollisen logaritmin integraali

Luonnollisen logaritmin funktion integraali saadaan:

Kun

f ( x ) = ln ( x )

F (x): n integraali on:

f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0: sta

Nollan luonnollinen logaritmi on määrittelemätön:

ln (0) on määrittelemätön

Raja lähellä x: n luonnollisen logaritmin arvoa 0, kun x lähestyy nollaa, on miinus ääretön:

Ln yhdestä

Yhden luonnollinen logaritmi on nolla:

ln (1) = 0

Ln ääretön

Äärettömyyden luonnollisen logaritmin raja, kun x lähestyy ääretöntä, on yhtä suuri kuin ääretön:

lim ln ( x ) = ∞, kun x → ∞

Monimutkainen logaritmi

Kompleksiluvulle z:

z = re = x + iy

Kompleksinen logaritmi on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Loki z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Kuvaaja ln (x)

ln (x) ei ole määritelty x: n todellisille ei-positiivisille arvoille:

Luonnollisen logaritmin taulukko

x ln x
0 undefined
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4,605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1.098612
4 1,386294
5 1,609438
6 1,791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4,248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6,214608
600 6.396930
700 6,551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Logaritmin säännöt ►

 


Katso myös

ALGEBRA
NOPEAT PÖYTÄT