Logaritmin säännöt
Pohja b logaritmin useiden on eksponentti , että meidän on nostaa tukikohdan saadakseen numeron.
- Logaritmin määritelmä
- Logaritmin säännöt
- Logaritmiongelmat
- Monimutkainen logaritmi
- Lokin kaavio (x)
- Logaritmitaulukko
- Logaritmin laskin
Logaritmin määritelmä
Kun b nostetaan y: n asteeksi, on yhtä suuri x:
b y = x
Sitten x: n perus b-logaritmi on yhtä suuri kuin y:
log b ( x ) = y
Esimerkiksi kun:
2 4 = 16
Sitten
log 2 (16) = 4
Logaritmi eksponenttifunktion käänteisenä funktiona
Logaritmifunktio,
y = log b ( x )
on eksponenttifunktion käänteisfunktio,
x = b y
Joten jos laskemme x: n (x/ 0) logaritmin eksponenttifunktion,
f ( f- 1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Tai jos laskemme x: n eksponenttifunktion logaritmin,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Luonnollinen logaritmi (ln)
Luonnollinen logaritmi on logaritmi perustaan e:
ln ( x ) = log e ( x )
Kun e-vakio on luku:
tai
Katso: Luonnollinen logaritmi
Käänteislogaritmin laskeminen
Käänteislogaritmi (tai antilogaritmi) lasketaan nostamalla pohja b logaritmiksi y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritminen toiminto
Logaritmisella funktiolla on seuraavat perusmuodot:
f ( x ) = log b ( x )
Logaritmin säännöt
| Säännön nimi | Sääntö |
|---|---|
Logaritmin tuotesääntö |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logaritmin osamääräsääntö |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Logaritmin tehosääntö |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritmin peruskytkimen sääntö |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Logaritmin perustan muutossääntö |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Logaritmin johdannainen |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Logaritmin integraali |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Negatiivisen luvun logaritmi |
log b ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0 |
Nollan logaritmi |
log b (0) on määrittelemätön |
 |
|
Yhden logaritmi |
log b (1) = 0 |
Pohjan logaritmi |
log b ( b ) = 1 |
Äärettömyyden logaritmi |
lim log b ( x ) = ∞, kun x → ∞ |
Katso: Logaritmin säännöt
Logaritmin tuotesääntö
X: n ja y: n kertologaritmi on x: n ja y: n logaritmin summa.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Esimerkiksi:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Logaritmin osamääräsääntö
X: n ja y: n jakauman logaritmi on x: n ja y: n logaritmin ero.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Esimerkiksi:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Logaritmin tehosääntö
Y: n voimaksi korotetun x: n logaritmi on y kertaa x: n logaritmi.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Esimerkiksi:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Logaritmin peruskytkimen sääntö
C: n perus b-logaritmi on 1 jaettuna b: n perus-c-logaritmilla.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Esimerkiksi:
log 2 (8) = 1 / log 8 (2)
Logaritmin perustan muutossääntö
X: n b-b-logaritmi on x: n perus-c-logaritmi jaettuna b: n perus-c-logaritmilla.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Esimerkiksi log 2: n (8) laskemiseksi laskimessa meidän on muutettava perusta arvoksi 10:
log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)
Katso: lokikirjan muutossääntö
Negatiivisen luvun logaritmi
X: n todellinen b-logaritmi, kun x <= 0, ei ole määritelty, kun x on negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla:
log b ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0
Katso: negatiivisen luvun loki
Nollan logaritmi
Nollan b-logaritmi on määrittelemätön:
log b (0) on määrittelemätön
X: n perusb-logaritmin raja, kun x lähestyy nollaa, on miinus ääretön:
Katso: nollaloki
Yhden logaritmi
Yhden perusb-logaritmi on nolla:
log b (1) = 0
Esimerkiksi yhden perustan kaksi logaritmia on nolla:
log 2 (1) = 0
Katso: yhden loki
Äärettömyyden logaritmi
X: n perusb-logaritmin raja, kun x lähestyy ääretöntä, on yhtä suuri kuin ääretön:
lim log b ( x ) = ∞, kun x → ∞
Katso: ääretön loki
Pohjan logaritmi
B: n perus b-logaritmi on yksi:
log b ( b ) = 1
Esimerkiksi kahden peruslogaritmi kahdesta on yksi:
log 2 (2) = 1
Logaritmijohdannainen
Kun
f ( x ) = log b ( x )
Sitten f (x): n johdannainen:
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Katso: lokijohdannainen
Logaritmin kiinteä osa
X: n logaritmin integraali:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Esimerkiksi:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Logaritmin likiarvo
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Monimutkainen logaritmi
Kompleksiluvulle z:
z = re iθ = x + iy
Kompleksinen logaritmi on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Loki z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Logaritmiongelmat ja vastaukset
Ongelma # 1
Etsi x kohteelle
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Ratkaisu:
Tuotesäännön käyttäminen:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Logaritmilomakkeen muuttaminen logaritmin määritelmän mukaan:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Tai
x 2 -3 x -4 = 0
Neliöyhtälön ratkaiseminen:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Koska logaritmia ei ole määritelty negatiivisille numeroille, vastaus on:
x = 4
Ongelma # 2
Etsi x kohteelle
log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2
Ratkaisu:
Käyttämällä osamissääntöä:
log 3 (( x +2) / x ) = 2
Logaritmilomakkeen muuttaminen logaritmin määritelmän mukaan:
( x +2) / x = 3 2
Tai
x +2 = 9 x
Tai
8 x = 2
Tai
x = 0,25
Lokin kaavio (x)
log (x) ei ole määritelty x: n todellisille ei-positiivisille arvoille:
Logaritmitaulukko
| x | log 10 x | loki 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | undefined | undefined | undefined |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13,287712 | -9,210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
| 0,1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0,4777121 | 1,584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1,386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1,609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
| 7 | 0,845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1,477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1,602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1,778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1,845098 | 6.129283 | 4,248495 |
| 80 | 1,903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1,954243 | 6,491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7,643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8,228819 | 5.703782 |
| 400 | 2,602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6,214608 |
| 600 | 2.778151 | 9,228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6,551080 |
| 800 | 2.903090 | 9,643856 | 6.684612 |
| 900 | 2,954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Katso myös
- Logaritmin säännöt
- Pohjan logaritmin muutos
- Nollan logaritmi
- Yhden logaritmi
- Äärettömyyden logaritmi
- Negatiivisen luvun logaritmi
- Logaritmin laskin
- Logaritmikaavio
- Logaritmitaulukko
- Luonnollisen logaritmin laskin
- Luonnollinen logaritmi - ln x
- e vakio
- Desibeli (dB)