Logaritmin säännöt

Pohja b logaritmin useiden on eksponentti , että meidän on nostaa tukikohdan saadakseen numeron.

Logaritmin määritelmä

Kun b nostetaan y: n asteeksi, on yhtä suuri x:

b y = x

Sitten x: n perus b-logaritmi on yhtä suuri kuin y:

log b ( x ) = y

Esimerkiksi kun:

2 4 = 16

Sitten

log 2 (16) = 4

Logaritmi eksponenttifunktion käänteisenä funktiona

Logaritmifunktio,

y = log b ( x )

on eksponenttifunktion käänteisfunktio,

x = b y

Joten jos laskemme x: n (x/ 0) logaritmin eksponenttifunktion,

f ( f- 1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Tai jos laskemme x: n eksponenttifunktion logaritmin,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Luonnollinen logaritmi (ln)

Luonnollinen logaritmi on logaritmi perustaan ​​e:

ln ( x ) = log e ( x )

Kun e-vakio on luku:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ vasen (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

tai

e = \ lim_ {x \ oikeanpuoleinen 0} \ vasen (1+ \ oikea x) ^ \ frac {1} {x}

 

Katso: Luonnollinen logaritmi

Käänteislogaritmin laskeminen

Käänteislogaritmi (tai antilogaritmi) lasketaan nostamalla pohja b logaritmiksi y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritminen toiminto

Logaritmisella funktiolla on seuraavat perusmuodot:

f ( x ) = log b ( x )

Logaritmin säännöt

Säännön nimi Sääntö
Logaritmin tuotesääntö
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmin osamääräsääntö
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmin tehosääntö
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmin peruskytkimen sääntö
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmin perustan muutossääntö
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritmin johdannainen
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Logaritmin integraali
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatiivisen luvun logaritmi
log b ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0
Nollan logaritmi
log b (0) on määrittelemätön
\ lim_ {x \ - 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Yhden logaritmi
log b (1) = 0
Pohjan logaritmi
log b ( b ) = 1
Äärettömyyden logaritmi
lim log b ( x ) = ∞, kun x → ∞

Katso: Logaritmin säännöt

 

Logaritmin tuotesääntö

X: n ja y: n kertologaritmi on x: n ja y: n logaritmin summa.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Esimerkiksi:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritmin osamääräsääntö

X: n ja y: n jakauman logaritmi on x: n ja y: n logaritmin ero.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Esimerkiksi:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmin tehosääntö

Y: n voimaksi korotetun x: n logaritmi on y kertaa x: n logaritmi.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Esimerkiksi:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Logaritmin peruskytkimen sääntö

C: n perus b-logaritmi on 1 jaettuna b: n perus-c-logaritmilla.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Esimerkiksi:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Logaritmin perustan muutossääntö

X: n b-b-logaritmi on x: n perus-c-logaritmi jaettuna b: n perus-c-logaritmilla.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Esimerkiksi log 2: n (8) laskemiseksi laskimessa meidän on muutettava perusta arvoksi 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Katso: lokikirjan muutossääntö

Negatiivisen luvun logaritmi

X: n todellinen b-logaritmi, kun x <= 0, ei ole määritelty, kun x on negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla:

log b ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0

Katso: negatiivisen luvun loki

Nollan logaritmi

Nollan b-logaritmi on määrittelemätön:

log b (0) on määrittelemätön

X: n perusb-logaritmin raja, kun x lähestyy nollaa, on miinus ääretön:

\ lim_ {x \ - 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Katso: nollaloki

Yhden logaritmi

Yhden perusb-logaritmi on nolla:

log b (1) = 0

Esimerkiksi yhden perustan kaksi logaritmia on nolla:

log 2 (1) = 0

Katso: yhden loki

Äärettömyyden logaritmi

X: n perusb-logaritmin raja, kun x lähestyy ääretöntä, on yhtä suuri kuin ääretön:

lim log b ( x ) = ∞, kun x → ∞

Katso: ääretön loki

Pohjan logaritmi

B: n perus b-logaritmi on yksi:

log b ( b ) = 1

Esimerkiksi kahden peruslogaritmi kahdesta on yksi:

log 2 (2) = 1

Logaritmijohdannainen

Kun

f ( x ) = log b ( x )

Sitten f (x): n johdannainen:

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Katso: lokijohdannainen

Logaritmin kiinteä osa

X: n logaritmin integraali:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Esimerkiksi:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritmin likiarvo

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Monimutkainen logaritmi

Kompleksiluvulle z:

z = re = x + iy

Kompleksinen logaritmi on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Loki z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmiongelmat ja vastaukset

Ongelma # 1

Etsi x kohteelle

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Ratkaisu:

Tuotesäännön käyttäminen:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Logaritmilomakkeen muuttaminen logaritmin määritelmän mukaan:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Tai

x 2 -3 x -4 = 0

Neliöyhtälön ratkaiseminen:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Koska logaritmia ei ole määritelty negatiivisille numeroille, vastaus on:

x = 4

Ongelma # 2

Etsi x kohteelle

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Ratkaisu:

Käyttämällä osamissääntöä:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Logaritmilomakkeen muuttaminen logaritmin määritelmän mukaan:

( x +2) / x = 3 2

Tai

x +2 = 9 x

Tai

8 x = 2

Tai

x = 0,25

Lokin kaavio (x)

log (x) ei ole määritelty x: n todellisille ei-positiivisille arvoille:

Logaritmitaulukko

x log 10 x loki 2 x log e x
0 undefined undefined undefined
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,4777121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2.321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1,477121 4.906891 3.401197
40 1,602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1,778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4,248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6,491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7,643856 5.298317
300 2.477121 8,228819 5.703782
400 2,602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6,214608
600 2.778151 9,228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6,551080
800 2.903090 9,643856 6.684612
900 2,954243 9.813781 6.802395
1000 3 9,965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmilaskin ►

 


Katso myös

ALGEBRA
NOPEAT PÖYTÄT