आधार को b से c में बदलने के लिए, हम आधार नियम के लघुगणक परिवर्तन का उपयोग कर सकते हैं। X का आधार b लघुगणक x के आधार c लघुगणक के बराबर है जिसका आधार c के लघुगणक द्वारा विभाजित है:
लॉग बी ( एक्स ) = लॉग सी ( एक्स ) / लॉग सी ( बी )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0.30103 = 6.64386
लॉग 3 (50) = लॉग 8 (50) / लॉग 8 (3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 60606666
X के आधार b लघुगणक की शक्ति के साथ b उठाने पर x देता है:
(1) x = b लॉग बी ( x )
B के आधार c लघुगणक की शक्ति के साथ c को उठाना b देता है:
(2) बी = सी लॉग सी ( बी )
जब हम (1) लेते हैं और b को c log c ( b ) (2) से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:
(3) x = b लॉग बी ( x ) = ( सी लॉग सी ( बी ) ) लॉग बी ( एक्स ) = सी लॉग सी ( बी ) × लॉग बी ( एक्स )
(3) के दोनों तरफ लॉग सी () लगाने से :
लॉग सी ( एक्स ) = लॉग सी ( सी लॉग सी ( बी ) × लॉग बी ( एक्स ) )
लघुगणक शक्ति नियम लागू करके :
लॉग सी ( एक्स ) = [लॉग सी ( बी ) × लॉग बी ( एक्स )] × लॉग सी ( सी )
चूंकि लॉग सी ( सी ) = 1
लॉग सी ( एक्स ) = लॉग सी ( बी ) × लॉग बी ( एक्स )
या
लॉग बी ( एक्स ) = लॉग सी ( एक्स ) / लॉग सी ( बी )