Prirodni logaritam - ln (x)

Prirodni logaritam je logaritam baze e broja.

• Definicija prirodnog logaritma (ln)
• Pravila i svojstva prirodnog logaritma (ln)
  • Derivat prirodnog logaritma (ln)
  • Integral prirodnog logaritma (ln)
• Složeni logaritam
• Grafikon ln (x)
• Tablica prirodnih logaritama (ln)
• Kalkulator prirodnog logaritma

Definicija prirodnog logaritma

Kada

e ^y = x

Tada je osnovni e logaritam x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

E konstantna ili Eulerov broj je:

e ≈ 2,71828183

Ln kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije

Funkcija prirodnog logaritma ln (x) je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije e ^x .

Za x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Ili

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravila i svojstva prirodnog logaritma

Naziv pravila	Pravilo	Primjer
Pravilo proizvoda	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravilo količnika	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = u (3) - ln (7)
Pravilo moći	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
U izvedenici	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
U cjelini	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln negativnog broja	ln ( x ) nije definirano kada je x ≤ 0
nula	ln (0) nije definirano
U jednom	ln (1) = 0
U beskonačnosti	lim ln ( x ) = ∞, kada je x → ∞
Eulerov identitet	ln (-1) = i π

Pravilo logaritamskog proizvoda

Logaritam množenja x i y zbroj je logaritma x i logaritma y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Na primjer:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Pravilo količnika logaritma

Logaritam dijeljenja x i y je razlika logaritma x i logaritma y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Na primjer:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Pravilo snage logaritma

Logaritam x podignut u potenciju y je y puta logaritam x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Na primjer:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Derivat prirodnog logaritma

Izvod funkcije prirodnog logaritma je recipročna funkcija.

Kada

f ( x ) = ln ( x )

Izvod f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral prirodnog logaritma

Integral funkcije prirodnog logaritma dan je:

Kada

f ( x ) = ln ( x )

Integral f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln od 0

Prirodni logaritam nule nije definiran:

ln (0) nije definirano

Granica blizu 0 prirodnog logaritma x, kada se x približi nuli, je minus beskonačnost:

Ln od 1

Prirodni logaritam jedinice jedan je nula:

ln (1) = 0

Ln beskonačnosti

Granica prirodnog logaritma beskonačnosti, kada se x približava beskonačnosti jednaka je beskonačnosti:

lim ln ( x ) = ∞, kada je x → ∞

Složeni logaritam

Za kompleksni broj z:

z = re ^iθ = x + iy

Složeni logaritam bit će (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktan ( y / x ))

Grafikon ln (x)

ln (x) nije definiran za stvarne pozitivne vrijednosti x:

Tablica prirodnih logaritama

Pravila logaritma ►

Vidi također

• Logaritam (zapisnik)
• Kalkulator prirodnog logaritma
• Prirodni logaritam nule
• Prirodni logaritam jedinice
• Prirodni logaritam e
• Prirodni logaritam beskonačnosti
• Prirodni logaritam negativnog broja
• Ln inverzna funkcija
• ln (x) graf
• Tablica prirodnog logaritma
• Logaritamski kalkulator
• e konstanta