Logaritamska pravila
Baza b logaritam od niza je eksponent da moramo podići bazu kako bi dobili broj.
- Definicija logaritma
- Logaritamska pravila
- Logaritamski problemi
- Složeni logaritam
- Grafikon dnevnika (x)
- Tablica logaritma
- Logaritamski kalkulator
Definicija logaritma
Kada se b podigne na stepen y jednako je x:
b y = x
Tada je osnovni b logaritam x jednak y:
log b ( x ) = y
Na primjer kada:
2 4 = 16
Zatim
log 2 (16) = 4
Logaritam kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije
Logaritamska funkcija,
y = log b ( x )
je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije,
x = b y
Dakle, ako izračunamo eksponencijalnu funkciju logaritma x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Ili ako izračunamo logaritam eksponencijalne funkcije x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Prirodni logaritam (ln)
Prirodni logaritam je logaritam za bazu e:
ln ( x ) = log e ( x )
Kada je e konstanta broj:
ili
Vidi: Prirodni logaritam
Izračun inverznog logaritma
Obrnuti logaritam (ili anti logaritam) izračunava se podizanjem osnove b na logaritam y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritamska funkcija
Logaritamska funkcija ima osnovni oblik:
f ( x ) = log b ( x )
Logaritamska pravila
| Naziv pravila | Pravilo |
|---|---|
Pravilo logaritamskog proizvoda |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Pravilo količnika logaritma |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Pravilo snage logaritma |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritamsko pravilo osnovne sklopke |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Pravilo promjene baze logaritma |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Izvedenica logaritma |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Integral logaritma |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritam negativnog broja |
log b ( x ) nije definiran kada je x ≤ 0 |
Logaritam 0 |
log b (0) nije definiran |
 |
|
Logaritam 1 |
log b (1) = 0 |
Logaritam baze |
log b ( b ) = 1 |
Logaritam beskonačnosti |
lim log b ( x ) = ∞, kada je x → ∞ |
Vidi: Logaritamska pravila
Pravilo logaritamskog proizvoda
Logaritam množenja x i y zbroj je logaritma x i logaritma y.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Na primjer:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Pravilo količnika logaritma
Logaritam dijeljenja x i y je razlika logaritma x i logaritma y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Na primjer:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Pravilo snage logaritma
Logaritam x podignut u potenciju y je y puta logaritam x.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Na primjer:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Logaritamsko pravilo osnovne sklopke
Logaritam baze b c je 1 podijeljen s logaritmom baze c b.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Na primjer:
log 2 (8) = 1 / log 8 (2)
Pravilo promjene baze logaritma
Logaritam baze b za x je logaritam baze c za x podijeljen s logaritmom baze c iz b.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Na primjer, da bismo izračunali log 2 (8) u kalkulatoru, moramo promijeniti bazu na 10:
log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)
Vidi: pravilo promjene baze dnevnika
Logaritam negativnog broja
Realni logaritam baze b od x kada je x <= 0 nije definiran kada je x negativan ili jednak nuli:
log b ( x ) nije definiran kada je x ≤ 0
Vidi: dnevnik negativnog broja
Logaritam 0
Logaritam baze n nula je nedefiniran:
log b (0) nije definiran
Granica osnovnog b logaritma x, kada se x približi nuli, je minus beskonačnost:
Vidi: dnevnik nule
Logaritam 1
Logaritam baze b jedan je nula:
log b (1) = 0
Na primjer, osnovni dva logaritma jedan je nula:
log 2 (1) = 0
Vidi: zapisnik jednog
Logaritam beskonačnosti
Granica osnovnog b logaritma x, kada se x približava beskonačnosti, jednaka je beskonačnosti:
lim log b ( x ) = ∞, kada je x → ∞
Vidi: dnevnik beskonačnosti
Logaritam baze
Logaritam baze b je jedan:
log b ( b ) = 1
Na primjer, osnovni logaritam dva od dva je jedan:
log 2 (2) = 1
Izvod logaritma
Kada
f ( x ) = log b ( x )
Tada je izvod f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Vidi: log derivat
Integralni logaritam
Integral logaritma x:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Na primjer:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Približavanje logaritma
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Složeni logaritam
Za kompleksni broj z:
z = re iθ = x + iy
Složeni logaritam bit će (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktan ( y / x ))
Logaritamski problemi i odgovori
Problem # 1
Pronađite x za
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Riješenje:
Upotreba pravila o proizvodu:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Promjena oblika logaritma prema definiciji logaritma:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Ili
x 2 -3 x -4 = 0
Rješavanje kvadratne jednadžbe:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Budući da logaritam nije definiran za negativne brojeve, odgovor je:
x = 4
Problem # 2
Pronađite x za
log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2
Riješenje:
Korištenje pravila količnika:
log 3 (( x +2) / x ) = 2
Promjena oblika logaritma prema definiciji logaritma:
( x +2) / x = 3 2
Ili
x +2 = 9 x
Ili
8 x = 2
Ili
x = 0,25
Grafikon dnevnika (x)
log (x) nije definiran za stvarne pozitivne vrijednosti x:
Tablica logaritama
| x | zapisnik 10 x | zapisnik 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | nedefiniran | nedefiniran | nedefiniran |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13,287712 | -9,210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4.605170 |
| 0,1 | -1 | -3,321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0,477121 | 1,584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1,609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1.791759 |
| 7 | 0,845098 | 2,807355 | 1.945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3,169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2,302585 |
| 20 | 1,301030 | 4,321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3,401197 |
| 40 | 1,602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1,698970 | 5,643856 | 3,912023 |
| 60 | 1.778151 | 5,906991 | 4.094345 |
| 70 | 1,845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1,903090 | 6,321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4,499810 |
| 100 | 2 | 6,643856 | 4,605170 |
| 200 | 2,301030 | 7,643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8,228819 | 5,703782 |
| 400 | 2,602060 | 8,643856 | 5,991465 |
| 500 | 2.698970 | 8,965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9,228819 | 6,396930 |
| 700 | 2,845098 | 9,451211 | 6,551080 |
| 800 | 2,903090 | 9,643856 | 6,684612 |
| 900 | 2,954243 | 9,813781 | 6,802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9,210340 |
Vidi također
- Logaritamska pravila
- Logaritamska promjena baze
- Logaritam nule
- Logaritam jednog
- Logaritam beskonačnosti
- Logaritam negativnog broja
- Logaritamski kalkulator
- Logaritamski graf
- Tablica logaritma
- Kalkulator prirodnog logaritma
- Prirodni logaritam - ln x
- e konstanta
- Decibel (dB)