Logaritma noteikumi
Bāze b logaritms no vairākiem ir eksponents , kas mums ir nepieciešams, lai paaugstinātu bāzi , lai iegūtu šo numuru.
- Logaritma definīcija
- Logaritma noteikumi
- Logaritma problēmas
- Komplekss logaritms
- Žurnāla diagramma (x)
- Logaritma tabula
- Logaritma kalkulators
Logaritma definīcija
Kad b tiek pacelts līdz y spēkam, ir vienāds ar x:
b y = x
Tad x bāzes b logaritms ir vienāds ar y:
log b ( x ) = y
Piemēram, kad:
2 4 = 16
Tad
log 2 (16) = 4
Logaritms kā eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija
Logaritmiskā funkcija,
y = log b ( x )
ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija,
x = b y
Tātad, ja mēs aprēķinām x (x/ 0) logaritma eksponenciālo funkciju,
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Vai arī, ja aprēķinām x eksponenciālās funkcijas logaritmu,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Dabiskais logaritms (ln)
Dabiskais logaritms ir logaritms uz pamatu e:
ln ( x ) = log e ( x )
Kad e konstante ir skaitlis:
vai
Skatīt: Dabiskais logaritms
Apgrieztā logaritma aprēķins
Apgriezto logaritmu (vai antilogaritmu) aprēķina, paaugstinot b b līdz logaritmam y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritmiskā funkcija
Logaritmiskās funkcijas pamatforma ir šāda:
f ( x ) = log b ( x )
Logaritma noteikumi
| Kārtulas nosaukums | Noteikums |
|---|---|
Logaritma produkta noteikums |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logaritma koeficienta noteikums |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Logaritma jaudas noteikums |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritma bāzes slēdža noteikums |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Logaritma bāzes maiņas likums |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Logaritma atvasinājums |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Logaritma integrāls |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Negatīvā skaitļa logaritms |
log b ( x ) nav definēts, ja x ≤ 0 |
0 logaritms |
log b (0) nav definēts |
 |
|
1 logaritms |
log b (1) = 0 |
Bāzes logaritms |
log b ( b ) = 1 |
Bezgalības logaritms |
lim log b ( x ) = ∞, kad x → ∞ |
Sk .: Logaritma likumi
Logaritma produkta noteikums
X un y reizināšanas logaritms ir x logaritma un y logaritma summa.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Piemēram:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Logaritma koeficienta noteikums
X un y dalījuma logaritms ir x un y logaritma starpība.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Piemēram:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Logaritma jaudas noteikums
X, kas paaugstināts līdz y jaudai, logaritms ir y reizes lielāks par x logaritmu.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Piemēram:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Logaritma bāzes slēdža noteikums
C bāzes b logaritms ir 1 dalīts ar b bāzes c logaritmu.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Piemēram:
log 2 (8) = 1 / log 8 (2)
Logaritma bāzes maiņas likums
B bāzes b logaritms ir x bāzes c logaritms, dalīts ar b bāzes c logaritmu.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Piemēram, lai kalkulatorā aprēķinātu log 2 (8), mums jāmaina bāze uz 10:
log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)
Skatīt: žurnāla bāzes maiņas likums
Negatīvā skaitļa logaritms
B bāzes reālais x logaritms, kad x <= 0, nav noteikts, ja x ir negatīvs vai vienāds ar nulli:
log b ( x ) nav definēts, ja x ≤ 0
Skatīt: negatīvā skaitļa žurnāls
0 logaritms
B nulles bāzes logaritms nav noteikts:
log b (0) nav definēts
B bāzes b logaritma robeža x, kad x tuvojas nullei, ir mīnus bezgalība:
Skatīt: nulles žurnāls
1 logaritms
Vienas bāzes b logaritms ir nulle:
log b (1) = 0
Piemēram, viena pamata logaritms ir nulle:
log 2 (1) = 0
Skatīt: viena žurnāls
Bezgalības logaritms
B bāzes b logaritma robeža x, kad x tuvojas bezgalībai, ir vienāds ar bezgalību:
lim log b ( x ) = ∞, kad x → ∞
Skatīt: bezgalības žurnāls
Bāzes logaritms
B bāzes b logaritms ir viens:
log b ( b ) = 1
Piemēram, divu pamatlogaritms no diviem ir viens:
log 2 (2) = 1
Logaritma atvasinājums
Kad
f ( x ) = log b ( x )
Tad f (x) atvasinājums:
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Skatīt: žurnāla atvasinājums
Logaritms neatņemams
X logaritma integrālis:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Piemēram:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Logaritma tuvināšana
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Komplekss logaritms
Kompleksam skaitlim z:
z = re iθ = x + iy
Kompleksais logaritms būs (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Logaritma problēmas un atbildes
1. problēma
Atrodiet x domēnam
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Risinājums:
Produkta noteikuma izmantošana:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Logaritma formas maiņa atbilstoši logaritma definīcijai:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Vai
x 2 -3 x -4 = 0
Kvadrātvienādojuma atrisināšana:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Tā kā negatīvajiem skaitļiem logaritms nav definēts, atbilde ir šāda:
x = 4
2. problēma
Atrodiet x domēnam
log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2
Risinājums:
Izmantojot koeficienta kārtulu:
log 3 (( x +2) / x ) = 2
Logaritma formas maiņa atbilstoši logaritma definīcijai:
( x +2) / x = 3 2
Vai
x +2 = 9 x
Vai
8 x = 2
Vai
x = 0,25
Žurnāla diagramma (x)
log (x) nav definēts reālām nepozitīvām x vērtībām:
Logaritmu tabula
| x | log 10 x | log 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | nenoteikts | nenoteikts | nenoteikts |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13.287712 | -9,210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0.693147 |
| 3 | 0,4777121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0.698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0.778151 | 2.584963 | 1,791759 |
| 7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Skatīt arī
- Logaritma noteikumi
- Logaritma bāzes maiņa
- Nulles logaritms
- Viena logaritms
- Bezgalības logaritms
- Negatīvā skaitļa logaritms
- Logaritma kalkulators
- Logaritma grafiks
- Logaritma tabula
- Dabiskā logaritma kalkulators
- Dabiskais logaritms - ln x
- e nemainīgs
- Decibeli (dB)