Logaritm natural - ln (x)

Logaritmul natural este logaritmul la baza e a unui număr.

Definiția natural logarithm

Cand

e y = x

Apoi baza e logaritmul lui x este

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

Constanta e sau numărul lui Euler este:

e ≈ 2.71828183

Ln ca funcție inversă a funcției exponențiale

Funcția logaritmică naturală ln (x) este funcția inversă a funcției exponențiale e x .

Pentru x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Sau

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Reguli și proprietăți ale logaritmului natural

Numele regulii Regulă Exemplu
Regula produsului

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Regula cotientului

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Regula puterii

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
În derivat
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
Este integral
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
În număr negativ
 ln ( x ) este nedefinit când x ≤ 0  
În zero
 ln (0) este nedefinit  
 
Într-unul
 ln (1) = 0  
În infinit
 lim ln ( x ) = ∞, când x → ∞  
Identitatea lui Euler ln (-1) = i π  

 

Regula produsului Logaritm

Logaritmul înmulțirii lui x și y este suma logaritmului lui x și logaritmului lui y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

De exemplu:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regula coeficientului logaritmului

Logaritmul diviziunii lui x și y este diferența dintre logaritmul lui x și logaritmul lui y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

De exemplu:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regula puterii logaritmice

Logaritmul lui x ridicat la puterea lui y este de y ori logaritmul lui x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

De exemplu:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Derivat al logaritmului natural

Derivata funcției logaritme naturale este funcția reciprocă.

Cand

f ( x ) = ln ( x )

Derivata lui f (x) este:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrala logaritmului natural

Integrala funcției logaritme naturale este dată de:

Cand

f ( x ) = ln ( x )

Integrala lui f (x) este:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln de 0

Logaritmul natural al zero este nedefinit:

ln (0) este nedefinit

Limita apropiată de 0 a logaritmului natural al lui x, când x se apropie de zero, este minus infinit:

Ln din 1

Logaritmul natural al unuia este zero:

ln (1) = 0

Ln infinit

Limita logaritmului natural al infinitului, când x se apropie de infinit este egală cu infinitul:

lim ln ( x ) = ∞, când x → ∞

Logaritm complex

Pentru numărul complex z:

z = re iθ = x + iy

Logaritmul complex va fi (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Graficul lui ln (x)

ln (x) nu este definit pentru valorile reale pozitive ale lui x:

Tabel logaritmi naturali

x ln x
0 nedefinit
0 + - ∞
0,0001 -9.210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0,1 -2.302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5,991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6,802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Reguli de logaritm ►

 

Vezi si

ALGEBRĂ
MESE RAPIDE