Натуральный логарифм - ln (x)

Натуральный логарифм - это логарифм числа по основанию e.

• Натуральный логарифм (ln) определение
• Правила и свойства натурального логарифма (ln)
  • Производная натурального логарифма (ln)
  • Интеграл от натурального логарифма (ln)
• Комплексный логарифм
• График ln (x)
• Таблица натуральных логарифмов (ln)
• Калькулятор натурального логарифма

Определение натурального логарифма

когда

е ^у = х

Тогда логарифм x по основанию e равен

ln ( x ) = журнал _e ( x ) = y

Константа e или число Эйлера:

е ≈ 2,71828183

Ln как функция, обратная экспоненциальной функции

Функция натурального логарифма ln (x) является обратной функцией экспоненциальной функции e ^x .

Для x/ 0

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Или

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Правила и свойства натурального логарифма

Название правила	Правило	пример
Правило продукта	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Правило частного	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	Ln (3 / 7) = Ln (3) - п (7)
Правило власти	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
в производной	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
в интегральном	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln отрицательного числа	ln ( x ) не определено, когда x ≤ 0
ln нуля	ln (0) не определено
в один	ln (1) = 0
ln бесконечности	lim ln ( x ) = ∞, когда x → ∞
Тождество Эйлера	ln (-1) = я π

Правило произведения логарифма

Логарифм умножения x и y - это сумма логарифма x и логарифма y.

журнал _b ( x ∙ y ) = журнал _b ( x ) + журнал _b ( y )

Например:

журнал ₁₀ (3 ∙ 7) = журнал ₁₀ (3) + журнал ₁₀ (7)

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y - это разность логарифма x и логарифма y.

журнал _b ( x / y ) = журнал _b ( x ) - журнал _b ( y )

Например:

войти ₁₀ (3 / 7) = войти ₁₀ (3) - войти в ₁₀ (7)

Правило логарифма мощности

Логарифм x в степени y равен y, умноженному на логарифм x.

журнал _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Например:

журнал ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ журнал ₁₀ (2)

Производная натурального логарифма

Производная функции натурального логарифма является обратной функцией.

когда

f ( x ) = ln ( x )

Производная f (x) равна:

f ' ( х ) = 1 / х

Интеграл от натурального логарифма

Интеграл от функции натурального логарифма определяется как:

когда

f ( x ) = ln ( x )

Интеграл от f (x) равен:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln из 0

Натуральный логарифм нуля не определен:

ln (0) не определено

Предел около 0 натурального логарифма x, когда x стремится к нулю, равен минус бесконечности:

Пер 1

Натуральный логарифм единицы равен нулю:

ln (1) = 0

Ln бесконечности

Предел натурального логарифма бесконечности, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:

lim ln ( x ) = ∞, когда x → ∞

Комплексный логарифм

Для комплексного числа z:

z = re ^iθ = x + iy

Комплексный логарифм будет (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Журнал z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

График ln (x)

ln (x) не определено для действительных неположительных значений x:

Таблица натуральных логарифмов

Правила логарифма ►

Смотрите также

• Логарифм (журнал)
• Калькулятор натурального логарифма
• Натуральный логарифм нуля
• Натуральный логарифм единицы
• Натуральный логарифм e
• Натуральный логарифм бесконечности
• Натуральный логарифм отрицательного числа
• Ln обратная функция
• ln (x) график
• Таблица натурального логарифма
• Калькулятор логарифмов
• е постоянная