Натуральный логарифм - ln (x)

Натуральный логарифм - это логарифм числа по основанию e.

• Натуральный логарифм (ln) определение
• Правила и свойства натурального логарифма (ln)
  • Производная натурального логарифма (ln)
  • Интеграл от натурального логарифма (ln)
• Комплексный логарифм
• График ln (x)
• Таблица натуральных логарифмов (ln)
• Калькулятор натурального логарифма

Определение натурального логарифма

когда

е ^у = х

Тогда логарифм x по основанию e равен

ln ( x ) = журнал _e ( x ) = y

 

Константа e или число Эйлера:

е ≈ 2,71828183

Ln как функция, обратная экспоненциальной функции

Функция натурального логарифма ln (x) является обратной функцией экспоненциальной функции e ^x .

Для x/ 0

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Или

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Правила и свойства натурального логарифма

Название правила	Правило	пример
Правило продукта	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Правило частного	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	Ln (3 / 7) = Ln (3) - п (7)
Правило власти	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
в производной	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
в интегральном	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln отрицательного числа	ln ( x ) не определено, когда x ≤ 0
ln нуля	ln (0) не определено
в один	ln (1) = 0
ln бесконечности	lim ln ( x ) = ∞, когда x → ∞
Тождество Эйлера	ln (-1) = я π

 

Правило произведения логарифма

Логарифм умножения x и y - это сумма логарифма x и логарифма y.

журнал _b ( x ∙ y ) = журнал _b ( x ) + журнал _b ( y )

Например:

журнал ₁₀ (3 ∙ 7) = журнал ₁₀ (3) + журнал ₁₀ (7)

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y - это разность логарифма x и логарифма y.

журнал _b ( x / y ) = журнал _b ( x ) - журнал _b ( y )

Например:

войти ₁₀ (3 / 7) = войти ₁₀ (3) - войти в ₁₀ (7)

Правило логарифма мощности

Логарифм x в степени y равен y, умноженному на логарифм x.

журнал _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Например:

журнал ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ журнал ₁₀ (2)

Производная натурального логарифма

Производная функции натурального логарифма является обратной функцией.

когда

f ( x ) = ln ( x )

Производная f (x) равна:

f ' ( х ) = 1 / х

Интеграл от натурального логарифма

Интеграл от функции натурального логарифма определяется как:

когда

f ( x ) = ln ( x )

Интеграл от f (x) равен:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln из 0

Натуральный логарифм нуля не определен:

ln (0) не определено

Предел около 0 натурального логарифма x, когда x стремится к нулю, равен минус бесконечности:

Пер 1

Натуральный логарифм единицы равен нулю:

ln (1) = 0

Ln бесконечности

Предел натурального логарифма бесконечности, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:

lim ln ( x ) = ∞, когда x → ∞

Комплексный логарифм

Для комплексного числа z:

z = re ^iθ = x + iy

Комплексный логарифм будет (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Журнал z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

График ln (x)

ln (x) не определено для действительных неположительных значений x:

Таблица натуральных логарифмов

х	ln x
0	неопределенный
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
е ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,55 · 1080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10000	9.210340

 

Правила логарифма ►

 

---

Смотрите также

• Логарифм (журнал)
• Калькулятор натурального логарифма
• Натуральный логарифм нуля
• Натуральный логарифм единицы
• Натуральный логарифм e
• Натуральный логарифм бесконечности
• Натуральный логарифм отрицательного числа
• Ln обратная функция
• ln (x) график
• Таблица натурального логарифма
• Калькулятор логарифмов
• е постоянная