Natürlicher Logarithmus - ln (x)

Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e einer Zahl.

• Definition des natürlichen Logarithmus (ln)
• Regeln und Eigenschaften des natürlichen Logarithmus (ln)
  • Ableitung des natürlichen Logarithmus (ln)
  • Integral des natürlichen Logarithmus (ln)
• Komplexer Logarithmus
• Graph von ln (x)
• Tabelle der natürlichen Logarithmen (ln)
• Natürlicher Logarithmusrechner

Definition des natürlichen Logarithmus

Wann

e ^y = x

Dann ist der Basis-e-Logarithmus von x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Die e-Konstante oder Eulers Zahl ist:

e ≈ 2.71828183

Ln als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion ln (x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e ^x .

Für x/ 0 ist

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Oder

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Natürliche Logarithmusregeln und Eigenschaften

Regelname	Regel	Beispiel
Produktregel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotientenregel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Potenzregel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
In Ableitung	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Im Integral	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C.
ln negativer Zahl	ln ( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0 ist
ln Null	ln (0) ist undefiniert
In einem von einem	ln (1) = 0
In der Unendlichkeit	lim ln ( x ) = ∞, wenn x → ∞
Eulers Identität	ln (-1) = i π

Logarithmus-Produktregel

Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Zum Beispiel:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logarithmusquotientenregel

Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz des Logarithmus von x und des Logarithmus von y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Zum Beispiel:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logarithmus-Potenzregel

Der Logarithmus von x, der auf die Potenz von y angehoben wird, ist das y-fache des Logarithmus von x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Zum Beispiel:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist die reziproke Funktion.

Wann

f ( x ) = ln ( x )

Die Ableitung von f (x) ist:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral des natürlichen Logarithmus

Das Integral der natürlichen Logarithmusfunktion ist gegeben durch:

Wann

f ( x ) = ln ( x )

Das Integral von f (x) ist:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C.

Ln von 0

Der natürliche Logarithmus von Null ist undefiniert:

ln (0) ist undefiniert

Die Grenze nahe 0 des natürlichen Logarithmus von x, wenn x gegen Null geht, ist minus unendlich:

Ln von 1

Der natürliche Logarithmus von Eins ist Null:

ln (1) = 0

Ln der Unendlichkeit

Die Grenze des natürlichen Logarithmus der Unendlichkeit, wenn x gegen unendlich geht, ist gleich unendlich:

lim ln ( x ) = ∞, wenn x → ∞

Komplexer Logarithmus

Für komplexe Zahl z:

z = re ^iθ = x + iy

Der komplexe Logarithmus ist (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graph von ln (x)

ln (x) ist nicht für reelle nicht positive Werte von x definiert:

Natürliche Logarithmentabelle

Logarithmusregeln ►

Siehe auch

• Logarithmus (log)
• Natürlicher Logarithmusrechner
• Natürlicher Logarithmus von Null
• Natürlicher Logarithmus von einem
• Natürlicher Logarithmus von e
• Natürlicher Logarithmus der Unendlichkeit
• Natürlicher Logarithmus der negativen Zahl
• In umgekehrter Funktion
• In (x) Grafik
• Natürliche Logarithmentabelle
• Logarithmusrechner
• Die Konstante