Logarithmusregeln

Der Logarithmus zur Basis b einer Zahl ist der Exponent , den wir benötigen, um die Basis zu erhöhen, um die Zahl zu erhalten.

Logarithmusdefinition

Wenn b auf die Potenz von y angehoben wird, ist x gleich x:

b y = x

Dann ist der Basis-b-Logarithmus von x gleich y:

log b ( x ) = y

Zum Beispiel, wenn:

2 4 = 16

Dann

log 2 (16) = 4

Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Die logarithmische Funktion,

y = log b ( x )

ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion,

x = b y

Wenn wir also die Exponentialfunktion des Logarithmus von x (x/ 0) berechnen,

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Oder wenn wir den Logarithmus der Exponentialfunktion von x berechnen,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Natürlicher Logarithmus (ln)

Natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis e:

ln ( x ) = log e ( x )

Wenn e Konstante die Zahl ist:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

oder

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Siehe: Natürlicher Logarithmus

Inverse Logarithmusberechnung

Der inverse Logarithmus (oder Antilogarithmus) wird berechnet, indem die Basis b auf den Logarithmus y angehoben wird:

x = log -1 ( y ) = b y

Logarithmische Funktion

Die logarithmische Funktion hat die Grundform:

f ( x ) = log b ( x )

Logarithmusregeln

Regelname Regel
Logarithmus-Produktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logarithmusquotientenregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logarithmus-Potenzregel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logarithmus-Basisschalterregel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regel zur Änderung der Logarithmusbasis
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Ableitung des Logarithmus
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral des Logarithmus
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C.
Logarithmus der negativen Zahl
 log b ( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0 ist
Logarithmus von 0
 log b (0) ist undefiniert
\ lim_ {x \ bis 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logarithmus von 1
 log b (1) = 0
Logarithmus der Basis
 log b ( b ) = 1
Logarithmus der Unendlichkeit
 lim log b ( x ) = ∞, wenn x → ∞

Siehe: Logarithmusregeln

 

Logarithmus-Produktregel

Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Zum Beispiel:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logarithmusquotientenregel

Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz des Logarithmus von x und des Logarithmus von y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Zum Beispiel:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logarithmus-Potenzregel

Der Logarithmus von x, der auf die Potenz von y angehoben wird, ist das y-fache des Logarithmus von x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Zum Beispiel:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logarithmus-Basisschalterregel

Der Basis-b-Logarithmus von c ist 1 geteilt durch den Basis-c-Logarithmus von b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Zum Beispiel:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Regel zur Änderung der Logarithmusbasis

Der Basis-b-Logarithmus von x ist der Basis-c-Logarithmus von x geteilt durch den Basis-c-Logarithmus von b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Um beispielsweise log 2 (8) im Taschenrechner zu berechnen, müssen wir die Basis auf 10 ändern:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Siehe: Regel zur Änderung der Protokollbasis

Logarithmus der negativen Zahl

Der reelle Logarithmus der Basis b von x, wenn x <= 0 ist, ist undefiniert, wenn x negativ oder gleich Null ist:

log b ( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0 ist

Siehe: Protokoll der negativen Zahl

Logarithmus von 0

Der Basis-b-Logarithmus von Null ist undefiniert:

log b (0) ist undefiniert

Die Grenze des Logarithmus der Basis b von x, wenn x gegen Null geht, ist minus unendlich:

\ lim_ {x \ bis 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Siehe: Protokoll von Null

Logarithmus von 1

Der Logarithmus zur Basis b von Eins ist Null:

log b (1) = 0

Zum Beispiel ist der Logarithmus der Basis zwei von eins Null:

log 2 (1) = 0

Siehe: Protokoll von einem

Logarithmus der Unendlichkeit

Die Grenze des Basis-b-Logarithmus von x, wenn x gegen unendlich geht, ist gleich unendlich:

lim log b ( x ) = ∞, wenn x → ∞

Siehe: Protokoll der Unendlichkeit

Logarithmus der Basis

Der Basis-b-Logarithmus von b ist eins:

log b ( b ) = 1

Zum Beispiel ist der Logarithmus der Basis zwei von zwei eins:

log 2 (2) = 1

Logarithmusableitung

Wann

f ( x ) = log b ( x )

Dann die Ableitung von f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Siehe: Protokollableitung

Logarithmusintegral

Das Integral des Logarithmus von x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C.

Zum Beispiel:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C.

Logarithmusnäherung

log 2 ( x ) ≤ n + ( x / 2 n - 1),

Komplexer Logarithmus

Für komplexe Zahl z:

z = re iθ = x + iy

Der komplexe Logarithmus ist (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logarithmusprobleme und Antworten

Problem Nr. 1

Finde x für

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Lösung:

Verwenden der Produktregel:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Ändern der Logarithmusform gemäß der Logarithmusdefinition:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Oder

x 2 -3 x -4 = 0

Lösen der quadratischen Gleichung:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Da der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist, lautet die Antwort:

x = 4

Problem Nr. 2

Finde x für

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Lösung:

Verwenden der Quotientenregel:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Ändern der Logarithmusform gemäß der Logarithmusdefinition:

( x +2) / x = 3 2

Oder

x +2 = 9 x

Oder

8 x = 2

Oder

x = 0,25

Diagramm des Protokolls (x)

log (x) ist nicht für echte nicht positive Werte von x definiert:

Logarithmentabelle

x log 10 x log 2 x log e x
0 nicht definiert nicht definiert nicht definiert
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3,321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2.321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2,995732
30 1.477121 4,906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3,688879
50 1,698970 5.643856 3.912023
60 1,778151 5.906991 4,094345
70 1,845098 6.129283 4,248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8,228819 5,703782
400 2.602060 8,643856 5.991465
500 2.698970 8,965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2,845098 9.451211 6.551080
800 2,903090 9.643856 6.684612
900 2,954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logarithmusrechner ►

 

Siehe auch

ALGEBRA
SCHNELLE TABELLEN