על מנת לשנות בסיס מ- b ל- c, נוכל להשתמש בשינוי הלוגריתם של כלל הבסיס. לוגריתם הבסיס b של x שווה לוגריתם הבסיס c של x חלקי בסיס הלוגריתם c של b:
יומן b ( x ) = יומן c ( x ) / יומן c ( ב )
יומן 2 (100) = יומן 10 (100) / יומן 10 (2) = 2 / 0.30103 = 6.64386
יומן 3 (50) = יומן 8 (50) / יומן 8 (3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766
העלאת b בכוחו של בסיס b לוגריתם של x נותנת x:
(1) x = b יומן b ( x )
העלאת c בכוח הבסיס c לוגריתם של b נותנת b:
(2) b = c יומן c ( b )
כאשר אנו לוקחים (1) ומחליפים את b ב- c log c ( b ) (2), אנו מקבלים:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
על ידי יישום יומן c () משני צידי (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
על ידי יישום כלל כוח הלוגריתם :
יומן c ( x ) = [יומן c ( b ) × יומן b ( x )] × יומן c ( c )
מכיוון שיומן c ( c ) = 1
יומן c ( x ) = יומן c ( b ) × יומן b ( x )
או
יומן b ( x ) = יומן c ( x ) / יומן c ( ב )