Логаритамска правила

База Б логарифм једног броја је експонент који треба да подигне базу како би добили број.

• Дефиниција логаритма
• Логаритамска правила
• Логаритамски проблеми
• Сложени логаритам
• Графикон дневника (к)
• Табела логаритма
• Логаритамски калкулатор

Дефиниција логаритма

Када је б подигнуто у степен и једнако је к:

б ^и = к

Тада је основни б логаритам к једнак и:

лог _б ( к ) = и

На пример када:

2 ⁴ = 16

Онда

лог ₂ (16) = 4

Логаритам као инверзна функција експоненцијалне функције

Логаритамска функција,

и = лог _б ( к )

је инверзна функција експоненцијалне функције,

к = б ^и

Дакле, ако израчунамо експоненцијалну функцију логаритма к (к/ 0),

ф ( ф ^-1 ( к )) = б ^лог б ^{( к )} = к

Или ако израчунамо логаритам експоненцијалне функције к,

ф ^-1 ( ф ( к )) = лог _б ( б ^к ) = к

Природни логаритам (лн)

Природни логаритам је логаритам за основу е:

лн ( к ) = лог _е ( к )

Када је е константа број:

или

 

Видети: Природни логаритам

Прорачун инверзног логаритма

Обрнути логаритам (или анти логаритам) израчунава се подизањем основе б на логаритам и:

к = лог ^-1 ( и ) = б ^и

Логаритамска функција

Логаритамска функција има основни облик:

ф ( к ) = лог _б ( к )

Логаритамска правила

Назив правила	Правило
Логаритамско правило производа	лог б ( к ∙ и ) = лог б ( к ) + лог б ( и )
Правило количника логаритма	лог б ( к / и ) = лог б ( к ) - лог б ( и )
Правило снаге логаритма	лог б ( к и ) = и ∙ лог б ( к )
Логаритамско правило основног прекидача	лог б ( ц ) = 1 / лог ц ( б )
Правило промене базе логаритма	лог б ( к ) = лог ц ( к ) / лог ц ( б )
Изведеница логаритма	ф ( к ) = лог б ( к ) ⇒ ф ' ( к ) = 1 / ( к лн ( б ))
Интеграл логаритма	∫ лог б ( к ) дк = к ∙ (лог б ( к ) - 1 / лн ( б ) ) + Ц
Логаритам негативног броја	лог б ( к ) је недефинисан када је к ≤ 0
Логаритам 0	лог б (0) није дефинисан
Логаритам 1	лог б (1) = 0
Логаритам основе	лог б ( б ) = 1
Логаритам бесконачности	лим лог б ( к ) = ∞, када је к → ∞

Видети: Логаритамска правила

 

Логаритамско правило производа

Логаритам множења к и и је збир логаритма к и логаритма и.

лог _б ( к ∙ и ) = лог _б ( к ) + лог _б ( и )

На пример:

лог ₁₀ (3 ∙ 7) = лог ₁₀ (3) + лог ₁₀ (7)

Правило количника логаритма

Логаритам дељења к и и је разлика логаритма к и логаритма и.

лог _б ( к / и ) = лог _б ( к ) - лог _б ( и )

На пример:

лог ₁₀ (3 / 7) = лог ₁₀ (3) - лог ₁₀ (7)

Правило снаге логаритма

Логаритам к подигнут у степен и је и пута логаритма к.

лог _б ( к ^и ) = и ∙ лог _б ( к )

На пример:

лог ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ лог ₁₀ (2)

Логаритамско правило основног прекидача

Логаритам базе б од ц је 1 подељен са основом логаритма ц од б.

лог _б ( ц ) = 1 / лог _ц ( б )

На пример:

лог ₂ (8) = 1 / лог ₈ (2)

Правило промене базе логаритма

Логаритам б базе к је основни логаритам к подељен основом ц логаритма б.

лог _б ( к ) = лог _ц ( к ) / лог _ц ( б )

На пример, да бисмо израчунали дневник ₂ (8) у калкулатору, морамо да променимо базу на 10:

дневник ₂ (8) = дневник ₁₀ (8) / дневник ₁₀ (2)

Погледајте: правило промене базе дневника

Логаритам негативног броја

Реални логаритам базе б за к када је к <= 0 није дефинисан када је к негативно или једнако нули:

лог _б ( к ) је недефинисан када је к ≤ 0

Погледајте: дневник негативног броја

Логаритам 0

Логаритам б базе н није дефинисан:

лог _б (0) није дефинисан

Граница основног б логаритма к, када се к приближи нули, је минус бесконачност:

Видети: дневник нуле

Логаритам 1

Основни б логаритам један је нула:

лог _б (1) = 0

На пример, основни два логаритма један је нула:

лог ₂ (1) = 0

Видети: дневник једног

Логаритам бесконачности

Граница основног б логаритма к, када се к приближава бесконачности, једнака је бесконачности:

лим лог _б ( к ) = ∞, када је к → ∞

Видети: дневник бесконачности

Логаритам основе

Логаритам б основе б је један:

лог _б ( б ) = 1

На пример, основни два логаритам два је један:

лог ₂ (2) = 1

Извод логаритма

Када

ф ( к ) = лог _б ( к )

Тада је извод ф (к):

ф ' ( к ) = 1 / ( к лн ( б ))

Видети: лог дериват

Логаритамски интеграл

Интеграл логаритма к:

∫ лог _б ( к ) дк = к ∙ (лог _б ( к ) - 1 / лн ( б ) ) + Ц

На пример:

∫ лог ₂ ( к ) дк = к ∙ (лог ₂ ( к ) - 1 / лн (2) ) + Ц

Приближавање логаритма

лог ₂ ( к ) ≈ н + ( к / 2 ^н - 1),

Сложени логаритам

За комплексни број з:

з = ре ^иθ = к + ии

Сложени логаритам биће (н = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Лог з = лн ( р ) + и ( θ + 2нπ ) = лн (√ ( к ² + и ² )) + и · арктан ( и / к ))

Логаритамски проблеми и одговори

Проблем # 1

Нађи к за

лог ₂ ( к ) + лог ₂ ( к -3) = 2

Решење:

Коришћење правила производа:

лог ₂ ( к ∙ ( к -3)) = 2

Промена облика логаритма према дефиницији логаритма:

к ∙ ( к -3) = 2 ²

Или

к ² -3 к -4 = 0

Решавање квадратне једначине:

к _1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Пошто логаритам није дефинисан за негативне бројеве, одговор је:

к = 4

Проблем # 2

Нађи к за

лог ₃ ( к +2) - лог ₃ ( к ) = 2

Решење:

Коришћење правила количника:

лог ₃ (( к +2) / к ) = 2

Промена облика логаритма према дефиницији логаритма:

( к +2) / к = 3 ²

Или

к +2 = 9 к

Или

8 к = 2

Или

к = 0,25

Графикон дневника (к)

лог (к) није дефинисан за реалне позитивне вредности к:

Табела логаритама

к	лог 10 к	лог 2 к	лог е к
0	недефинисан	недефинисан	недефинисан
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0,001	-3	-9.965784	-6.907755
0,01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

Логаритамски калкулатор ►

 

---

Такође видети

• Логаритамска правила
• Логаритамска промена основе
• Логаритам нуле
• Логаритам једног
• Логаритам бесконачности
• Логаритам негативног броја
• Логаритамски калкулатор
• Графикон логаритма
• Табела логаритма
• Калкулатор природног логаритма
• Природни логаритам - лн к
• е константа
• Децибел (дБ)