ในการเปลี่ยนฐานจาก b เป็น c เราสามารถใช้การเปลี่ยนลอการิทึมของกฎฐานได้ ลอการิทึมฐาน b ของ x เท่ากับลอการิทึมฐาน c ของ x หารด้วยลอการิทึมฐาน c ของ b:
บันทึกb ( x ) = บันทึกc ( x ) / บันทึกc ( b )
บันทึก2 (100) = บันทึก10 (100) / บันทึก10 (2) = 2 / 0.30103 = 6.64386
บันทึก3 (50) = บันทึก8 (50) / บันทึก8 (3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766
การยก b ด้วยกำลังของลอการิทึมฐานของ x ให้ x:
(1) x = b บันทึกb ( x )
การยก c ด้วยกำลังของฐาน c ลอการิทึมของ b ให้ b:
(2) b = c บันทึกc ( b )
เมื่อเรานำ (1) และแทนที่ b ด้วยc log c ( b ) (2) เราจะได้:
(3) x = b บันทึกb ( x ) = ( c บันทึกc ( b ) ) บันทึกb ( x ) = c บันทึกc ( b ) ×บันทึกb ( x )
โดยใช้บันทึกc () ทั้งสองด้านของ (3):
บันทึกc ( x ) = บันทึกc ( c บันทึกc ( b ) ×บันทึกb ( x ) )
โดยใช้กฎกำลังลอการิทึม :
บันทึกc ( x ) = [บันทึกc ( b ) ×บันทึกb ( x )] ×บันทึกc ( c )
ตั้งแต่บันทึกc ( c ) = 1
บันทึกc ( x ) = บันทึกc ( b ) ×บันทึกb ( x )
หรือ
บันทึกb ( x ) = บันทึกc ( x ) / บันทึกc ( b )