Натуральний логарифм - ln (x)

Натуральний логарифм - це логарифм основи е числа.

• Визначення природного логарифму (ln)
• Правила та властивості природного логарифму (ln)
  • Похідна натурального логарифму (ln)
  • Інтеграл природного логарифму (ln)
• Складний логарифм
• Графік ln (x)
• Таблиця натуральних логарифмів (ln)
• Калькулятор природного логарифму

Визначення натурального логарифму

Коли

e ^y = x

Тоді основа e е логарифмом x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Е константа або число Ейлера:

e ≈ 2,71828183

Ln як обернена функція експоненціальної функції

Функція натурального логарифму ln (x) є оберненою функцією експоненціальної функції e ^x .

При x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Або

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Правила та властивості природного логарифму

Назва правила	Правило	Приклад
Правило продукту	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Правило частки	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	Ln (3 / 7) = Ln (3) - п (7)
Правило влади	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
ln похідна	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
В цілому	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln від'ємного числа	ln ( x ) не визначено, коли x ≤ 0
нуль	ln (0) не визначено
ln одного	ln (1) = 0
ln нескінченності	lim ln ( x ) = ∞, коли x → ∞
Особа Ейлера	ln (-1) = i π

Правило добутку логарифму

Логарифм множення x та y - це сума логарифму x та логарифму y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Наприклад:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Правило частки логарифму

Логарифм поділу x та y - це різниця логарифму x та логарифму y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Наприклад:

увійти ₁₀ (3 / 7) = увійти ₁₀ (3) - увійти в ₁₀ (7)

Правило степеня логарифму

Логарифм x, піднятий до степеня y, у помножений на логарифм x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Наприклад:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Похідна натурального логарифму

Похідною функції натурального логарифму є зворотна функція.

Коли

f ( x ) = ln ( x )

Похідною f (x) є:

f ' ( x ) = 1 / x

Інтеграл природного логарифму

Інтеграл функції натурального логарифму задається:

Коли

f ( x ) = ln ( x )

Інтегралом f (x) є:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln від 0

Природний логарифм нуля не визначений:

ln (0) не визначено

Межа поблизу 0 натурального логарифму x, коли x наближається до нуля, дорівнює мінус нескінченності:

Ln з 1

Натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю:

ln (1) = 0

Ln нескінченності

Межа природного логарифму нескінченності, коли x наближається до нескінченності, дорівнює нескінченності:

lim ln ( x ) = ∞, коли x → ∞

Складний логарифм

Для комплексного числа z:

z = re ^iθ = x + iy

Складний логарифм буде (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · арктан ( y / x ))

Графік ln (x)

ln (x) не визначено для дійсних непозитивних значень x:

Таблиця натуральних логарифмів

Правила логарифму ►

Дивіться також

• Логарифм (журнал)
• Калькулятор природного логарифму
• Натуральний логарифм нуля
• Натуральний логарифм одиниці
• Натуральний логарифм e
• Природний логарифм нескінченності
• Натуральний логарифм від’ємного числа
• Ln обернена функція
• Графік ln (x)
• Таблиця натурального логарифму
• Калькулятор логарифмів
• e константа