For at ændre base fra b til c kan vi bruge logaritmen til at ændre basereglen. Basen b logaritme af x er lig med basen c logaritmen af x divideret med basen c logaritmen af b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766
Hævning af b med kraften i base b logaritme af x giver x:
(1) x = b log b ( x )
Hævelse af c med kraften i base c logaritme af b giver b:
(2) b = c log c ( b )
Når vi tager (1) og erstatter b med c log c ( b ) (2), får vi:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Ved at anvende log c () på begge sider af (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Ved at anvende logaritmens magtregel :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Da log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Eller
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )