Pohjan vaihtamiseksi b: stä c: ksi voimme käyttää perussäännön logaritmin muutosta. X: n perus b-logaritmi on yhtä suuri kuin x: n perus-c-logaritmi jaettuna b: n perus-c-logaritmilla:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Korottamalla b: n x: n perusb-logaritmin voimalla saadaan x:
(1) x = b log b ( x )
Korottamalla c: n b: n perus-c-logaritmin voimalla saadaan b:
(2) b = c log c ( b )
Kun otamme (1) ja korvataan b: llä c log c ( b ) (2), saadaan:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Levittämällä log c (): n (3) molemmille puolille:
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Käyttämällä logaritmin tehosääntöä :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Koska log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Tai
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )