Logaritme regels
De logaritme met grondtal b van een getal is de exponent die we nodig hebben om de basis te verhogen om het getal te krijgen.
- Logaritme definitie
- Logaritme regels
- Logaritme problemen
- Complexe logaritme
- Grafiek van logboek (x)
- Logaritme-tabel
- Logaritme rekenmachine
Logaritme definitie
Wanneer b wordt verheven tot de macht van y is gelijk aan x:
b y = x
Dan is de logaritme met grondtal b van x gelijk aan y:
logboek b ( x ) = y
Bijvoorbeeld wanneer:
2 4 = 16
Dan
logboek 2 (16) = 4
Logaritme als inverse functie van exponentiële functie
De logaritmische functie,
y = logboek b ( x )
is de inverse functie van de exponentiële functie,
x = b y
Dus als we de exponentiële functie van de logaritme van x (x/ 0) berekenen,
f ( f -1 ( x )) = b logboek b ( x ) = x
Of als we de logaritme van de exponentiële functie van x berekenen,
f -1 ( f ( x )) = logboek b ( b X ) = x
Natuurlijke logaritme (ln)
Natuurlijke logaritme is een logaritme met de grondtal e:
ln ( x ) = logboek e ( x )
Als de constante het getal is:
of
Inverse logaritme-berekening
De inverse logaritme (of anti-logaritme) wordt berekend door het grondtal b te verhogen tot de logaritme y:
x = logboek -1 ( y ) = b y
Logaritmische functie
De logaritmische functie heeft de basisvorm van:
f ( x ) = logboek b ( x )
Logaritme regels
| Regelnaam | Regel |
|---|---|
Logaritme-productregel |
logboek b ( x ∙ y ) = logboek b ( x ) + logboek b ( y ) |
Logaritme-quotiëntregel |
logboek b ( x / y ) = logboek b ( x ) - logboek b ( y ) |
Logaritme machtsregel |
logboek b ( x y ) = y ∙ logboek b ( x ) |
Logaritme basisswitch regel |
logboek b ( c ) = 1 / logboek c ( b ) |
Logaritme basis wijzigingsregel |
logboek b ( x ) = logboek c ( x ) / logboek c ( b ) |
Afgeleide van logaritme |
f ( x ) = logboek b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Integraal van logaritme |
∫ logboek b ( x ) dx = x ∙ (logboek b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritme van negatief getal |
log b ( x ) is niet gedefinieerd als x ≤ 0 |
Logaritme van 0 |
log b (0) is niet gedefinieerd |
 |
|
Logaritme van 1 |
logboek b (1) = 0 |
Logaritme van de basis |
logboek b ( b ) = 1 |
Logaritme van oneindigheid |
lim log b ( x ) = ∞, wanneer x → ∞ |
Zie: Logaritme-regels
Logaritme-productregel
De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van logaritme van x en logaritme van y.
logboek b ( x ∙ y ) = logboek b ( x ) + logboek b ( y )
Bijvoorbeeld:
logboek 10 (3 ∙ 7) = logboek 10 (3) + logboek 10 (7)
Logaritme-quotiëntregel
De logaritme van de deling van x en y is het verschil van logaritme van x en logaritme van y.
logboek b ( x / y ) = logboek b ( x ) - logboek b ( y )
Bijvoorbeeld:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Logaritme machtsregel
De logaritme van x verheven tot de macht van y is y maal de logaritme van x.
logboek b ( x y ) = y ∙ logboek b ( x )
Bijvoorbeeld:
logboek 10 (2 8 ) = 8 ∙ logboek 10 (2)
Logaritme basisswitch regel
De logaritme met grondtal b van c is 1 gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.
logboek b ( c ) = 1 / logboek c ( b )
Bijvoorbeeld:
logboek 2 (8) = 1 / logboek 8 (2)
Logaritme basis wijzigingsregel
De logaritme met grondtal b van x is de logaritme met grondtal c van x gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.
logboek b ( x ) = logboek c ( x ) / logboek c ( b )
Om bijvoorbeeld log 2 (8) in de rekenmachine te berekenen, moeten we de basis wijzigen in 10:
logboek 2 (8) = logboek 10 (8) / logboek 10 (2)
Zie: wijzigingsregel logboekbasis
Logaritme van negatief getal
De reële logaritme met grondtal b van x als x <= 0 niet gedefinieerd is als x negatief is of gelijk aan nul:
log b ( x ) is niet gedefinieerd als x ≤ 0
Zie: logboek met negatief getal
Logaritme van 0
De logaritme met grondtal b van nul is niet gedefinieerd:
log b (0) is niet gedefinieerd
De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:
Zie: log van nul
Logaritme van 1
De logaritme met grondtal b van één is nul:
logboek b (1) = 0
De logaritme met grondtal twee van één is bijvoorbeeld nul:
logboek 2 (1) = 0
Zie: logboek van één
Logaritme van oneindigheid
De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:
lim log b ( x ) = ∞, wanneer x → ∞
Logaritme van de basis
De logaritme met grondtal b van b is één:
logboek b ( b ) = 1
De logaritme met grondtal twee van twee is bijvoorbeeld één:
logboek 2 (2) = 1
Logaritme afgeleide
Wanneer
f ( x ) = logboek b ( x )
Dan is de afgeleide van f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Zie: log-afgeleide
Logaritme integraal
De integraal van logaritme van x:
∫ logboek b ( x ) dx = x ∙ (logboek b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Bijvoorbeeld:
∫ logboek 2 ( x ) dx = x ∙ (logboek 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Logaritme benadering
logboek 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Complexe logaritme
Voor complex getal z:
z = re iθ = x + iy
De complexe logaritme is (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + Y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Logaritmische problemen en antwoorden
Probleem # 1
Zoek x voor
logboek 2 ( x ) + logboek 2 ( x -3) = 2
Oplossing:
Met behulp van de productregel:
logboek 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Het logaritme-formulier wijzigen volgens de logaritme-definitie:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Of
x 2 -3 x -4 = 0
De kwadratische vergelijking oplossen:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Omdat de logaritme niet is gedefinieerd voor negatieve getallen, is het antwoord:
x = 4
Probleem # 2
Zoek x voor
logboek 3 ( x +2) - logboek 3 ( x ) = 2
Oplossing:
Met behulp van de quotiëntregel:
logboek 3 (( x +2) / x ) = 2
Het logaritme-formulier wijzigen volgens de logaritme-definitie:
( x +2) / x = 3 2
Of
x +2 = 9 x
Of
8 x = 2
Of
x = 0,25
Grafiek van logboek (x)
log (x) is niet gedefinieerd voor echte niet-positieve waarden van x:
Logaritmes-tabel
| x | logboek 10 x | logboek 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | ongedefinieerd | ongedefinieerd | ongedefinieerd |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6.907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0.602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1.791759 |
| 7 | 0,845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0.903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5,991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Zie ook
- Logaritme regels
- Logaritme verandering van basis
- Logaritme van nul
- Logaritme van één
- Logaritme van oneindigheid
- Logaritme van negatief getal
- Logaritme rekenmachine
- Logaritme-grafiek
- Logaritme-tabel
- Natuurlijke logaritme-calculator
- Natuurlijke logaritme - ln x
- e constante
- Decibel (dB)